Question

9．如圖1所示的坐標(biāo)系內(nèi)，在x₀（x₀＞0）處有一垂直工軸放置的擋板．在y軸與擋板之間的區(qū)域內(nèi)存在一個(gè)與xoy平玨垂直且指向紙內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T．位于坐標(biāo)原點(diǎn)O處的粒子源向xoy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶正電的粒子，所有粒子的初速度大小均為v_o=1.0×10⁶m/s，方向與x軸正方向的夾角為θ，且0≤θ≤90°．該粒子的比荷為$\frac{q}{m}$=1.0×10⁸C/kg，不計(jì)粒子所受重力和粒子間的相互作用，粒子打到擋板上后均被擋板吸收．

（1）求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R：
（2）如圖2所示，為使沿初速度方向與x軸正方向的夾角θ=30°射出的粒子不打到擋板上，則x₀必須滿足什么條件？該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是多少？
（3）若x₀=5.0×10^-2m，求粒子打在擋板上的范圍（用y坐標(biāo)表示），并用“”圖樣在圖3中畫出粒子在磁場(chǎng)中所能到達(dá)的區(qū)域：

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力充當(dāng)向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道半徑．
（2）粒子恰好不打到擋板上，其運(yùn)動(dòng)軌跡與擋板相切，畫出軌跡，由幾何知識(shí)求出x₀，即可得到x₀滿足的條件．根據(jù)粒子軌道對(duì)應(yīng)的圓心角θ，由公式t=$\frac{θ}{2π}$T求出時(shí)間．
（3）若x₀=5.0×10^-2m，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出粒子打在擋板上的范圍

解答 解：（1）由牛頓第二定律得$qvB=m\frac{v_0^2}{R}$
$R=\frac{{m{v_0}}}{qB}$=5.0×10^-2m
（2）如圖所示，設(shè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡恰與擋板相切，由幾何關(guān)系得：x₀=R+Rsinθ
X₀=7.5×10^-2m
為使該粒子不打到擋板上，x₀≥7.5×10^-2m
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T
T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{Bq}$=π×10^-7s
該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$t=\frac{{\frac{4}{3}π}}{2π}T$=$\frac{2}{3}T$=$\frac{2}{3}π×{10^{-7}}s$

（3）若x₀=5.0×10^-2m，則x₀=R
當(dāng)粒子沿著-y方向入射時(shí)，將打在擋板上的A點(diǎn)
其縱坐標(biāo)y_A=-R=500×10^-2m
當(dāng)粒子沿著+x方向入射時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與擋板相切于B點(diǎn)
其縱坐標(biāo)y_B=R=5.0×10^-2m
則粒子打在擋板上的范圍為-500×10^-2m≤y＜5.0×10^-2m
粒子在磁場(chǎng)中所能到達(dá)的區(qū)域如圖所示
答：
（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R是5.0×10^-2m；
（2）為使該粒子不打到擋板上，x₀≥7.5×10^-2 m，該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是$\frac{2}{3}π×1{0}^{-7}s$．
（3）粒子打在擋板上的范圍為-5.0×10^-2 m≤y＜5.0×10^-2 m

點(diǎn)評(píng) 本題的解題關(guān)鍵是畫出軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求出相關(guān)的距離，確定圓心角，求解粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間