Question

18．如圖所示，兩足夠長(zhǎng)平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌平面與水平面夾角α=30°，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直導(dǎo)軌平面向上，長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌電接觸良好，金屬棒的質(zhì)量為m、電阻為R．兩金屬導(dǎo)軌的上端連接右端電路，燈泡的電阻R_L=4R，定值電阻R₁=2R，電阻箱電阻調(diào)到使R₂=12R，重力加速度為g，現(xiàn)將金屬棒由靜止釋放，試求：

（1）金屬棒下滑的最大速度為多大？
（2）當(dāng)金屬棒下滑距離為S₀時(shí)速度恰達(dá)到最大，求金屬棒由靜止開(kāi)始下滑2S₀的過(guò)程中，整個(gè)電路產(chǎn)生的電熱；
（3）R₂為何值時(shí)，其消耗的功率最大？消耗的最大功率為多少？

Answer 1

分析 （1）金屬棒ab先加速下滑，加速度減小，后勻速下滑，速度達(dá)到最大．由歐姆定律、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和安培力公式推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，根據(jù)平衡條件求解最大速度．
（2）金屬棒由靜止開(kāi)始下滑2s₀的過(guò)程中，重力和安培力對(duì)棒做功，棒的重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為棒的動(dòng)能和電路的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒列式可求出整個(gè)電路中產(chǎn)生的總電熱．
（3）金屬棒勻速下滑時(shí)受力平衡，根據(jù)平衡條件得到通過(guò)ab棒的電流，根據(jù)歐姆定律得到通過(guò)R₂的電流，由公式${P_2}=I_2^2{R_2}$得到功率與電阻的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求極值，并確定出條件．

解答 解：（1）當(dāng)金屬棒勻速下滑時(shí)速度最大，達(dá)到最大時(shí)有
    mgsinα=F_安…①
又  F_安=BIL…②
   I=$\frac{BL{v}_{m}}{{R}_{總}(cāng)}$…③
其中R_總=R+R₁+$\frac{{R}_{2}{R}_{L}}{{R}_{2}+{R}_{L}}$=6R…④
聯(lián)立①-④式得金屬棒下滑的最大速度${v_m}=\frac{3mgR}{{{B^2}{L^2}}}$…⑤
（2）根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒得：
   $mgsin2{s_B}=Q+\frac{1}{2}mv_m^2$  ⑥
再將⑤式代入上式得$Q=mg{s_0}-\frac{{9{m^3}{g^2}{R^2}}}{{2{B^4}{L^4}}}$ 
（3）金屬棒勻速下滑時(shí)
  mgsinα=BIL
則得 I=$\frac{mgsinα}{BL}$…⑦
R₂消耗的功率${P_2}=I_2^2{R_2}$…⑧
由分流原理得：通過(guò)電阻箱R₂的I₂=$\frac{{R}_{L}}{{R}_{2}+{R}_{L}}I$=$\frac{4R}{{R}_{2}+4R}I$…⑨
聯(lián)立⑦～⑨式得${P_2}=（{\;}\right.\frac{4Rmgsinα}{{（{R_2}+4R）BL}}{\left.{\;}）^2}{R_2}$
則得 ${P_2}=\frac{{16{R^2}{R_2}}}{{R_2^2+8R{R_2}+16{R^2}}}{（{\frac{mgsinα}{BL}}）^2}$
  P₂=$\frac{16{R}^{2}}{{R}_{2}+8R+\frac{16{R}^{2}}{{R}_{2}}}$$•（\frac{mgsinα}{BL}）^{2}$
當(dāng)${R_2}=\frac{{16{R^2}}}{R_2}$，即R₂=4R時(shí)，R₂消耗的功率最大
故R₂消耗的最大功率為：${P_2}=\frac{{{m^2}{g^2}R}}{{4{B^2}{L^2}}}$
答：
（1）金屬棒下滑的最大速度v_m是$\frac{3mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）金屬棒由靜止開(kāi)始下滑2s₀的過(guò)程中，整個(gè)電路產(chǎn)生的電熱是mgs₀-$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）改變電阻箱R₂的阻值，當(dāng)R₂為何值時(shí)，金屬棒勻速下滑時(shí)R₂消耗的功率最大；消耗的最大功率為$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電路知識(shí)、電磁感應(yīng)知識(shí)，第3問(wèn)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求極值，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力要求較高；要加強(qiáng)對(duì)于應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題能力的訓(xùn)練．