Question

4．如圖所示，在坐標(biāo)系的第一、四象限存在一寬度為a、垂直紙面向外的有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B；在第三象限存在與y軸正方向成θ=60°角的勻強(qiáng)電場．一個粒子源能釋放質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，粒子的初速度可以忽略．粒子源在點P（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，-$\frac{1}{2}$a）時發(fā)出的粒子恰好垂直磁場邊界EF射出；將粒子源沿直線PO移動到Q點時，所發(fā)出的粒子恰好不能從EF射出．不計粒子的重力及粒子間相互作用力．求：
（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度；
（2）PQ的長度；
（3）若僅將電場方向沿順時針方向轉(zhuǎn)動60°角，粒子源仍在PQ間移動并釋放粒子，試判斷這些粒子第一次從哪個邊界射出磁場并確定射出點的縱坐標(biāo)范圍．

Answer 1

分析 （1）對直線加速過程根據(jù)動能定理列式，畫出軌跡后結(jié)合幾何關(guān)系確定軌道半徑，然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解；
（2）先對從Q到O過程根據(jù)動能定理列式求解，再次畫出軌跡后結(jié)合幾何關(guān)系確定軌道半徑，最后根據(jù)牛頓第二定律列式求解；
（3）先根據(jù)動能定理確定進(jìn)入磁場的初速度，然后畫出軌道，結(jié)合幾何關(guān)系確定射出點．

解答 解：（1）粒子源在P點時，粒子在電場中被加速；
點P坐標(biāo)為：（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，-$\frac{1}{2}$a），故PO=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}}=a$
根據(jù)動能定理，有：
qEa=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$                  
解得：
${v}_{1}=\sqrt{\frac{2qEa}{m}}$                            
粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律，有：
q${v}_{1}B=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
由幾何關(guān)系知，半徑：
${R}_{1}=\frac{a}{cosθ}$=2a      
解得：
E=$\frac{2q{B}^{2}a}{m}$                        
（2）粒子源在Q點時，設(shè)OQ=d，根據(jù)動能定理，有：
qEd=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$       
根據(jù)牛頓第二定律，有：
q${v}_{2}B=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$    
粒子在磁場中運動軌跡與邊界EF相切，由幾何關(guān)系知：
R₂cos60°+R₂=a
R${\;}_{2}=\frac{2}{3}a$             
聯(lián)立解得：
d=$\frac{a}{9}$                       
長度：PQ=OP-OQ=$\frac{8a}{9}$                 
（3）若將電場方向變?yōu)榕cy軸負(fù)方向成θ=60°角，由于加速距離相等，電場力大小也相等，粒子源在P、Q兩點處時，粒子經(jīng)電場加速后到進(jìn)入磁場時的速率與第一問中速率相等，仍為v₁、v₂．從P、Q點發(fā)出的粒子在磁場中的軌道半徑仍為：R₁=2a、R₂=$\frac{2}{3}a$；
從P發(fā)出的粒子第一次從y軸上N點射出，由幾何關(guān)系知軌道正好與EF相切，N點的縱坐標(biāo)：${y}_{N}=-（a+2{R}_{1}sin60°）=-（1+2\sqrt{3}）a$    
同理可求，從Q發(fā)出的粒子第一次從y軸上M點射出，M點的縱坐標(biāo)：
${y}_{N}=-（\frac{1}{9}a+2{R}_{2}sin60°）=-\frac{（1+6\sqrt{3}）a}{9}$                   
即射出點的縱坐標(biāo)范圍[$-\frac{（1+6\sqrt{3}）a}{9}$，$-（1+2\sqrt{3}）a$]
答：（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度為$\frac{2q{B}^{2}a}{m}$；
（2）PQ的長度為$\frac{8a}{9}$；
（3）這些粒子第一次從左邊界射出磁場，射出點的縱坐標(biāo)范圍為[$-\frac{（1+6\sqrt{3}）a}{9}$，$-（1+2\sqrt{3}）a$]．

點評 本題關(guān)鍵是明確粒子的運動規(guī)律，畫出運動軌跡，然后分階段根據(jù)動能定理，牛頓第二定律列式求解．