Question

11．水平地面上放著如圖所示的玻璃磚，橫截面左半部分OAB為一半徑為R的$\frac{1}{4}$圓，右半部分OBC為一直角三角形，角C等于30°，玻璃磚折射率n=$\sqrt{3}$．現(xiàn)有一知入射光線如圖所示平行于地面射到玻璃磚AB面上，已知入射光線與地面的距離為H=$\frac{\sqrt{3}R}{2}$，光在真空中的速度為c．求：
①光線從BC邊射出時(shí)的折射角；
②光線在玻璃磚中傳播所用的時(shí)間t及出射光線與地面的距離h．

Answer 1

分析 ①通過(guò)幾何關(guān)系求出光線在AB面上入射角的正弦，結(jié)合折射定律求出折射角，從而得出光線在玻璃磚水平面AC上的入射角，判斷是否發(fā)生全反射，若發(fā)生全反射，結(jié)合幾何關(guān)系和折射定律求出光線從BC邊射出時(shí)的折射角．
②根據(jù)幾何關(guān)系求出光線在玻璃磚中的路程，根據(jù)v=$\frac{c}{n}$求出光線在玻璃磚中的速度，從而得出光線在玻璃磚中傳播的時(shí)間，結(jié)合幾何關(guān)系求出出射光線與地面的距離．

解答 解：①如圖所示，設(shè)入射光線與$\frac{1}{4}$ 圓的交點(diǎn)為D，連接OD，OD為法線．過(guò)D作 D D₁垂直于水平地面．設(shè)入射角和折射角分別為α，β．
又由△O D D₁知sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由折射定律得 $\frac{sinα}{sinβ}=\sqrt{3}$，
解得β=30°．
由幾何關(guān)系知，光線在玻璃磚的水平面AC上的入射角60°．
因?yàn)閟inC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin60°，所以C＜60°   
在F點(diǎn)發(fā)生了全反射，到達(dá)G點(diǎn)出射，由幾何關(guān)系知達(dá)G點(diǎn)入射角為β=30°，
由$\frac{sinα}{sinβ}=\sqrt{3}$知，折射角也為α=60°，出射光線平行于地面．
②分別過(guò)E、F做EE₁、FF₁垂直于BC，過(guò)G做GG₁作垂直于AC，由幾何關(guān)系知△EE₁B≌△FF₁G≌△FG₁G，
因?yàn)镈F=2Rcos30°，F(xiàn)G=2h
得S=DF+FG=$\frac{3+2\sqrt{3}}{3}R$，
n=$\frac{c}{v}$，
所以t=$\frac{s}{v}$=$\frac{ns}{c}$=$\frac{（2+\sqrt{3}）R}{c}$．
因?yàn)?nbsp; 2OEcos30°=R，BE=R-OE    
得BE=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}R$．
所以  h=BE₁=$\frac{BE}{2}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{6}R$．
答：①光線從BC邊射出時(shí)的折射角為60°；
②光線在玻璃磚中傳播所用的時(shí)間為$\frac{（2+\sqrt{3}）R}{c}$，出射光線與地面的距離為$\frac{3-\sqrt{3}}{6}R$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查光的折射問(wèn)題，對(duì)數(shù)學(xué)幾何能力的要求較高，平時(shí)需加強(qiáng)訓(xùn)練，提高解題能力，同時(shí)掌握光的折射定律，注意正確的作圖是解題的關(guān)鍵．