Question

15．足夠長(zhǎng)的平行光滑導(dǎo)電軌道OP、O′P′相距L=0.5m，傾斜放置，其電阻不計(jì)，OO′將用不見(jiàn)電阻的導(dǎo)線連接電源E和電鍵S，電源電動(dòng)勢(shì)為E=1.2V，內(nèi)阻r=1.0Ω．在導(dǎo)軌平面里有一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（圖中虛線框內(nèi)），方向垂直導(dǎo)軌平面向內(nèi)，如圖所示．完全相同的兩根金屬棒ab、cd分別垂直導(dǎo)軌放置，每棒兩端都與導(dǎo)軌始終有良好接觸，棒ab在靠近磁場(chǎng)下邊界的磁場(chǎng)內(nèi)，棒cd在磁場(chǎng)上邊界外某處．已知兩棒的質(zhì)量均為m=0.25kg，電阻均為R=0.4Ω．某時(shí)刻閉合電鍵，同時(shí)無(wú)初速度釋放棒ab、cd，發(fā)現(xiàn)棒ab靜止在導(dǎo)軌上，棒cd沿導(dǎo)軌下滑．經(jīng)過(guò)t₁=1.0s，斷開(kāi)電鍵S，棒ab從磁場(chǎng)區(qū)域下邊界離開(kāi)磁場(chǎng)，沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，棒cd再經(jīng)過(guò)t₂=4.0s進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（1）求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（2）若棒cd能追上棒ab，求磁場(chǎng)區(qū)域的寬度x滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）斷開(kāi)電鍵S，棒cd進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受力平衡，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合可求得cd棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，由平衡條件和安培力公式結(jié)合可求得B的大小．
（2）兩棒均離開(kāi)磁場(chǎng)后做加速度相同的勻加速運(yùn)動(dòng)，要使棒cd能追上棒ab，cd棒出磁場(chǎng)的速度必須大于此時(shí)ab棒的速度．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解即可．

解答 解：（1）cd棒從開(kāi)始釋放到運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)上邊界時(shí)所用時(shí)間為 t=t₁+t₂=5s
cd棒未進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)的加速度 a=$\frac{mgsinα}{m}$=gsinα
cd棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為 v=at=gtsinα
此時(shí)cd棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=BLv
電流為 I=$\frac{E}{2R}$=$\frac{BLgtsinα}{2R}$
因?yàn)榘鬰d進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有 mgsinα=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}gtsinα}{2R}$
可得 B=$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{2mR}{t}}$=$\frac{1}{0.5}$$\sqrt{\frac{2×0.25×0.4}{5}}$T=0.4T；
（2）兩棒均離開(kāi)磁場(chǎng)后做加速度相同的勻加速運(yùn)動(dòng)，若要使能追上棒ab，cd棒出磁場(chǎng)的速度必須大于此時(shí)ab棒的速度．
S閉合時(shí)ab棒靜止，此時(shí)干路中電流為 I=$\frac{E}{0.5R+r}$=$\frac{1.2}{0.5×0.4+1}$A=1A
通過(guò)ab棒的電流 I₁=$\frac{1}{2}$I=0.5A
根據(jù)平衡條件得：mgsinθ=BI₁L
可得 sinθ=$\frac{B{I}_{1}L}{mg}$=0.04
當(dāng)cd棒出磁場(chǎng)時(shí)，ab棒運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t₀=t₂+$\frac{x}{v}$
此時(shí)ab棒的速度為 v₀=at₀；
要滿足題目的要求，則須滿足的條件是：v＞v₀
即  gtsinα＞gsinα（t₂+$\frac{x}{gtsinα}$）
化簡(jiǎn)得：t＞t₂+$\frac{x}{gtsinα}$）
可得：x＜（t-t₂）gtsinα=（5-4）×10×5×0.04m=2m
即x＜2m時(shí)棒cd能追上棒ab．
答：
（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是0.4T．
（2）若棒cd能追上棒ab，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度x滿足的條件是x＜2m．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的綜合，要能熟練運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得到棒cd進(jìn)磁場(chǎng)的速度表達(dá)式，由棒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由平衡條件解決問(wèn)題．對(duì)于追及，要在抓住相等關(guān)系的基礎(chǔ)上，分析速度和位移關(guān)系．