Question

10．如圖，水平軌道AB與豎直固定圓軌道相切于B點(diǎn)，C為圓軌道最高點(diǎn)，圓軌道半徑R=5m．一質(zhì)量m=60kg的志愿者，駕駛質(zhì)量M=940kg、額定功率P=40kw的汽車體驗(yàn)通過(guò)圓軌道時(shí)所受底座的作用力，汽車從A點(diǎn)由靜止以加速度a=2m/s²做勻加速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，志愿者調(diào)節(jié)汽車牽引力，使汽車勻速率通過(guò)圓軌道又回到B點(diǎn)，志愿者在C點(diǎn)時(shí)所受底座的支持力等于志愿者的重力，已知汽車在水平軌道及圓軌道上的阻力均為汽車對(duì)軌道壓力的0.1倍，取g=10m/s²，計(jì)算中將汽車視為質(zhì)點(diǎn)．
求：
（1）汽車在C點(diǎn)的速率；
（2）汽車在C點(diǎn)的牽引功率；
（3）AB間的距離及汽車從A點(diǎn)經(jīng)圓軌道又回到B點(diǎn)的過(guò)程所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）抓住徑向的合力提供向心力，運(yùn)用牛頓第二定律求出汽車在C點(diǎn)的速率．
（2）對(duì)整體分析，根據(jù)牛頓得讓定律求出C點(diǎn)的正壓力，從而得出阻力的大小，抓住牽引力等于阻力，根據(jù)P=Fv求出牽引功率．
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出在AB軌道上的牽引力，結(jié)合B點(diǎn)的速度判斷功率是否達(dá)到額定功率，判斷出AB段一直做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)速度時(shí)間公式求出在AB段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)位移時(shí)間公式求出AB間的距離．結(jié)合在圓軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間求出總時(shí)間的大�。�

解答 解：（1）在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得，$2mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得v_C=10m/s．
（2）在C點(diǎn)，設(shè)汽車所受軌道支持力為F_N，牽引力為F₁，阻力為f₁，
對(duì)M、m整體，由牛頓第二定律得，${F}_{N}+（M+m）g=（M+m）\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
牽引力F₁=f₁，
f₁=0.1F_N，
牽引功率P₁=F₁v_C，
代入數(shù)據(jù)解得P₁=10kW．
（3）在水平軌道AB上，設(shè)汽車牽引力為F₂，由牛頓第二定律得，
F₂-0.1（M+m）g=（M+m）a，
在B點(diǎn)，v_B=v_C=10m/s，
汽車在水平軌道上運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，牽引功率P₂=F₂v_B=30kW＜40kW，汽車在AB段一直做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
設(shè)汽車在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，沿圓軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得，
v_B=at₁，
$x=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$，
${t}_{2}=\frac{2πR}{{v}_{C}}$，
代入數(shù)據(jù)解得x=25m，
則t=t₁+t₂=（5+π）s．
答：（1）汽車在C點(diǎn)的速率為10m/s；
（2）汽車在C點(diǎn)的牽引功率為10kW；
（3）AB間的距離為25m，汽車從A點(diǎn)經(jīng)圓軌道又回到B點(diǎn)的過(guò)程所用的時(shí)間為（5+π）s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了功率、牛頓第二定律與圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，在最高點(diǎn)靠重力和彈力的合力提供向心力，在最高點(diǎn)，牽引力等于阻力．