Question

1．如圖所示，間距為L的光滑平行金屬導軌水平地放置在豎直方向的磁感應強度為B的勻強磁場中，一端接有阻值為R的電阻，電阻為r、質量為m的導體棒放置在導軌上，在外力F作用下從t=0時刻開始運動，其速度規(guī)律為v=v_msinωt，不計導軌電阻，電壓表為理想電表，求：
（1）電壓表的示數(shù)；
（2）從t=0到t=$\frac{π}{ω}$時間內電阻R上產生的熱量；
（3）從t=0到t=$\frac{π}{2ω}$時間內外力F所做的功．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)感應電動勢公式E=Bdv求得感應電動勢瞬時值表達式，可知棒中產生正弦式電流，根據(jù)感應電動勢最大值E_m，求出感應電動勢的有效值，再由歐姆定律求出電流的有效值，由歐姆定律求出R電壓的有效值，即為電壓表的示數(shù)．
（2）由焦耳定律求電阻R產生的熱量．
（3）根據(jù)動能定理研究從t=0到t=$\frac{π}{2ω}$時間內外力F所做的功．其中克服安培力做功大小等于電路中產生的熱量．

解答 解：（1）從t=0開始運動，棒ab產生的感應電動勢為：
e=BLv=BLv_msinωt，是正弦式交變電流
感應電動勢最大值為：E_m=BLv_m
其有效值為：E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$E_m
感應電流的有效值：I=$\frac{E}{R+r}$
電壓表的示數(shù)等于R兩端電壓的有效值，為 U=IR=$\frac{\sqrt{2}BLR{v}_{m}}{R+r}$
（2）從t=0到t=$\frac{π}{ω}$時間內電阻R產生的熱量：Q=I²Rt
解得：Q=$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}R}{ω（R+r）^{2}}$；
（3）從t=0到t=$\frac{π}{2ω}$時間內，根據(jù)動能定理得：W=$\frac{1}{2}$mv_m²+I²（R+r）t
聯(lián)立得：外力F所做的功 W=$\frac{1}{2}$mv_m²+$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{4ω（R+r）}$；
答：
（1）電壓表的示數(shù)為 $\frac{\sqrt{2}BLR{v}_{m}}{R+r}$．
（2）從t=0到t=$\frac{π}{ω}$時間內電阻R產生的熱量為$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}R}{ω（R+r）^{2}}$；
（3）從t=0到t=$\frac{π}{2ω}$時間內，外力F所做的功為$\frac{1}{2}$mv_m²+$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{4ω（R+r）}$．

點評 本題是產生正弦式電流的一種方式，要能夠把電磁感應和動能定理結合解決問題．知道正弦交變電流產生熱量的求解方式