Question

（2006?福建模擬）微觀粒子之間的相互作用都是通過交換某種粒子（如光子、中間玻色子、膠子）來實(shí)現(xiàn)的．粒子間的排斥作用可以簡化為如下的一個(gè)力學(xué)模型來描述：
水平冰面上兩個(gè)質(zhì)量均為m的滑冰者A和B，分別以大小為υ_A和υ_B的水平速度相向運(yùn)動(dòng)（如圖甲）．當(dāng)它們趨近到一定距離時(shí)，為避免相撞，A立即沿水平方向向B扔出一個(gè)動(dòng)量大小為p（相對(duì)地面，下同）、質(zhì)量可以忽略的小球，小球在B手中停留一段時(shí)間T后又以大小相同的動(dòng)量p水平扔回A手中，A又經(jīng)相同時(shí)間T再次以同樣大小的動(dòng)量水平扔給B，并不斷重復(fù)上述過程，直至兩個(gè)滑冰者避免了相撞．設(shè)水平冰面摩擦不計(jì)，除小球在A、B手中停留的時(shí)間T外，不計(jì)空中飛行的時(shí)間，以水平向右為正方向．求：
（1）滑冰者B第一次把球接到手中時(shí)A、B的速度；
（2）從A開始扔球算起，球在A、B之間至少被扔出幾次才可以避免兩個(gè)滑冰者相撞？
（3）設(shè)m=60kg，υ_A=2m/s，υ_B=1m/s，p=30kg?m/s，T=1s，t=0時(shí)A剛好扔出小球，試在圖乙給出的同一個(gè)υ-t坐標(biāo)圖上，畫出問（2）過程中A、B兩個(gè)滑冰者的速度隨時(shí)間變化的υ-t圖線（不要求寫出計(jì)算過程，只按畫出的圖線評(píng)分，但圖線上必須注明A和B）

Answer 1

分析：（1）第一次A扔球，A與球的動(dòng)量守恒，B接球過程，B與球的動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律列式求解；
（2）同理可得，第二次B扔球、A接球后兩球的速度，總結(jié)規(guī)律得到n次扔球、接球后兩球的速度υ_An和υ_Bn．要使A、B不相撞且扔球次數(shù)最少，應(yīng)滿足υ_An=υ_Bn，即可得到滿足A、B不相撞所需的最少扔球的次數(shù)．
（3）分段作兩個(gè)滑冰者的速度隨時(shí)間變化的υ-t圖線．

解答：解：（1）取水平向右為正方向，第一次A扔球、B接球，設(shè)A扔球后速度為，B接球后速度為，由動(dòng)量守恒定律有
：A扔球過程，有：mυ_A=mυ_A1+p               
解得：υ_A1=υ_A-

p

m

B接球過程，有：-mυ_B+p=mυ_B1
解得：υ_B1=-υ_B+

p

m

（2）第二次B扔球、A接球，設(shè)B扔球后速度為υ_B2，A接球后速度為υ_A2，則由動(dòng)量守恒定律：
mυ_B1=mυ_B2-p
解得：υ_B2=υ_B1+

p

m

=-υ_B+

2p

m

mυ_A1-p=mυ_A2
解得：υ_A2=υ_A1-

p

m

=υ_A-

2p

m

設(shè)n次扔球、接球后．A的速度為υ_An，B的速度為υ_Bn，則由上述推理可得：
υ_An=υ_A-

np

m

          
υ_Bn=-υ_B+

nP

m

要使A、B不相撞且扔球次數(shù)最少，應(yīng)滿足：υ_An=υ_Bn
因此，滿足A、B不相撞所需的最少扔球次數(shù)為：n=

m(vA+vB)

2p

討論：
①當(dāng)

m(vA+vB)

2p

為整數(shù)時(shí)，n取

m(vA+vB)

2p

；
②當(dāng)

m(vA+vB)

2p

不為整數(shù)時(shí)，取

m(vA+vB)

2p

+1
（3）如圖所示

答：（1）滑冰者B第一次把球接到手中時(shí)A、B的速度分別為υ_A-

p

m

和-υ_B+

p

m

；
（2）從A開始扔球算起，球在A、B之間至少被扔出

m(vA+vB)

2p

或

m(vA+vB)

2p

+1次才可以避免兩個(gè)滑冰者相撞．
（3）A、B兩個(gè)滑冰者的速度隨時(shí)間變化的υ-t圖線如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵掌握動(dòng)量守恒定律的條件，合理選擇研究的過程，采用歸納法運(yùn)用動(dòng)量守恒定律進(jìn)行求解．