Question

15．導體切割磁感線的運動可以從不同角度來認識．如圖所示，固定于水平面的U形導線框處于豎直向下的勻強磁場中，金屬直導線MN在與其垂直的水平恒力F作用下，在導線框上以速度v做勻速運動，速度v與恒力F方向相同；導線MN始終與導線框形成閉合電路．已知磁場的磁感應強度為B，導線的長度恰好等于平行軌道的間距L．
（1）通過法拉第電磁感應定律推導證明：導線MN切割磁感線產(chǎn)生的電動勢E=BLv．
（2）從微觀角度看，導線MN中的自由電荷所受洛倫茲力在上述能量轉(zhuǎn)化中起著重要作用．為了方便，可認為導線MN中的自由電荷為正電荷．
a．電動勢在數(shù)值上等于非靜電力把1C的正電荷在電源內(nèi)從負極移送到正極所做的功．如果移送電荷q時非靜電力所做的功為W，那么電動勢E=$\frac{W}{q}$．請據(jù)此推導證明：導線MN切割磁感線產(chǎn)生的電動勢E=BLv．
b．導體切割磁感線時，產(chǎn)生的電能是通過外力克服安培力做功轉(zhuǎn)化而來的．但我們知道，洛倫茲力對運動電荷不做功．那么，導線MN中的自由電荷所受洛倫茲力是如何在能量轉(zhuǎn)化過程中起到作用的呢？請通過計算分析說明．

Answer 1

分析 （1）導線做勻速直線運動，應用位移公式求出其位移，然后應用法拉第電磁感應定律求出感應電動勢的表達式．
（2）a、應用洛倫茲力公式與功的計算公式求出非靜電力做功，然后根據(jù)電動勢的定義式求出電動勢的表達式．
b、將電荷所受洛倫茲力分解為沿導線方向與垂直于導線方向的兩個分析，分析各分力的做功情況，然后分析得出結論．

解答 解：（1）導線做勻速直線運動，在△t時間內(nèi)，導線MN的位移為：x=v•△t，
線框的面積變化量是：△S=Lx=Lv•△t，
則穿過閉合電路的磁通量的變化量是：△Φ=B•△S=BLv•△t
根據(jù)法拉第電磁感應定律得：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BLv△t}{△t}$=BLv，
由此得證：導線MN切割磁感線產(chǎn)生的電動勢為：E=BLv；
（2）a、導線MN切割磁感線時相當于電源，由右手定則可以判斷M為正極，N為負極，
所以自由電荷沿導體棒由N向M定向移動，自由電荷實際的速度方向和所受洛倫茲力的方向如圖1所示．
將f沿導線方向和垂直導線方向分解為f₁和f₂，其中f₁為非靜電力，如圖2所示．
設自由電荷的電荷量為q，則f₁=qvB，自由電荷在從N移動到M，
f₁做的功W=f₁L=qvBL，所以導線MN切割磁感線產(chǎn)生的電動勢為：E=$\frac{W}{q}$=$\frac{qvBL}{q}$BLv；
b、設自由電荷沿導線MN定向移動的速率為u．在△t時間內(nèi)，自由電荷沿導線MN定向移動的距離為：x₁=u•△t，
垂直導線方向移動的距離x₂=v•△t．所以在這段時間內(nèi)：f₁做正功，有：W₁=f₁x₁=qvBu•△t；
f₂做負功，W₂=f₂x₂=-quBv•△t．因此W₁=-W₂，即導線MN中一個自由電荷所受的洛倫茲力做功為零．
f₁做正功，宏觀上表現(xiàn)為“電動勢”，使電路獲得電能；f₂做負功，宏觀上表現(xiàn)為安培力做負功，阻礙導線MN運動，消耗機械能．
大量自由電荷所受洛倫茲力做功的宏觀表現(xiàn)是將機械能轉(zhuǎn)化為等量的電能，在此過程中洛倫茲力通過兩個分力做功起到“傳遞”能量的作用． 
答：（1）證明過程如上所述；（2）a、推導過程如上所述；b、大量自由電荷所受洛倫茲力做功的宏觀表現(xiàn)是將機械能轉(zhuǎn)化為等量的電能，在此過程中洛倫茲力通過兩個分力做功起到“傳遞”能量的作用．

點評 導體棒切割磁感線產(chǎn)生感應電動勢，從宏觀與微觀角度進行分析其實質(zhì)可以增進學生對動生電動勢的理解，理解并靈活應用法拉第電磁感應定律是解題的前提與關鍵；解題過程要注意力的合成與分解的應用．