Question

8．有兩顆人造地球衛(wèi)星，它們的質量之比m₁：m₂=3：1，軌道半徑之比r₁：r₂=2：1，求：
（1）它們的運行速率之比
（2）它們的周期之比．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，求出線速度和周期的表達式，結合軌道半徑之比求出運行速率和周期之比．

解答 解：（1）根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
因為軌道半徑之比為：r₁：r₂=2：1，
則運行速率之比為：${v}_{1}：{v}_{2}=1：\sqrt{2}$．
（2）根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，
因為軌道半徑之比為：r₁：r₂=2：1，
則周期之比為：${T}_{1}：{T}_{2}=2\sqrt{2}：1$．
答：（1）它們的運行速率之比為$1：\sqrt{2}$；
（2）它們的周期之比為$2\sqrt{2}：1$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，知道線速度、周期的大小與環(huán)繞天體的質量無關．