Question

18．某星際探測是現(xiàn)代航天科技發(fā)展的重要課題．如圖9所示，某探測器從空間的O點(diǎn)沿直線ON從靜止開始以加速度a作勻加速直線運(yùn)動，三個月后與地球相遇于P點(diǎn)，再經(jīng)二個月與地球相遇于Q點(diǎn)，已知萬有引力常量G，地球公轉(zhuǎn)周期為T，試導(dǎo)出估算太陽質(zhì)量的關(guān)系式（用上述物理量表達(dá)）？

Answer 1

分析 地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動，由太陽的萬有引力提供向心力，根據(jù)萬有引力定律和向心力公式列式得到地球的公轉(zhuǎn)周期與半徑的關(guān)系式；
對于探測衛(wèi)星從靜止開始以加速度a作勻加速直線運(yùn)動，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式可求得PQ間的距離與地球公式周期的關(guān)系．由幾何知識得到：PQ對應(yīng)的圓心角，得到地球公轉(zhuǎn)半徑與PQ的關(guān)系，即可聯(lián)立求得太陽的質(zhì)量

解答 解：對地球太陽對地球的萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力有：
  $\frac{GMm}{r^2}=m{（\frac{2π}{T}）^2}r$
對探測器 PQ=OQ-OP=$\frac{1}{2}a{（\frac{5T}{12}）^2}-\frac{1}{2}a{（\frac{T}{4}）^2}=\frac{1}{18}a{T^2}$
二個月時間為地球公轉(zhuǎn)周期的$\frac{1}{6}$即為$\frac{1}{6}T$，則θ=60⁰，由幾何關(guān)系得r=PQ 
聯(lián)立以上各式得$M=\frac{{{π^2}{a^3}{T^4}}}{1458G}$
答：太陽質(zhì)量的關(guān)系式為：$M=\frac{{{π^2}{a^3}{T^4}}}{1458G}$．

點(diǎn)評 本題是萬有引力與勻變速運(yùn)動的綜合，關(guān)鍵找出地球與探測器之間的時間關(guān)系，運(yùn)用幾何知識得到PQ與r的關(guān)系．