Question

15．如圖所示，固定在水平面的平臺上有一個(gè)半徑為R的四分之一圓弧軌道AB，其末端B的切線水平，且與小平板車的上表面等高．小平板車質(zhì)量為M，長為L，緊靠平臺靜止在水平面上．車的右端C固定一根輕彈簧．將一個(gè)質(zhì)量為m的小滑塊由圓弧軌道最高點(diǎn)A處無初速釋放，小滑塊從B點(diǎn)沖上小平板車．不計(jì)一切摩擦，重力加速度為g．求：
（1）小滑塊從B點(diǎn)剛沖上小平板車時(shí)的速率v_B；
（2）小滑塊沖上小平板車后，彈簧的最大彈性勢能E_p；
（3）小平板車最終的速度v_c．

Answer 1

分析 （1）從A到B的過程中，根據(jù)動能定理求解速度；
（2）小滑塊沖上小平板車后，當(dāng)滑塊與小車的速度相等時(shí)，彈簧的彈性勢能最大，此過程中，小車和滑塊及彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，據(jù)此列式求解；
（3）當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時(shí)，滑塊向左運(yùn)動，最終離開小車，此過程中，系統(tǒng)動量守恒，機(jī)械能守恒，據(jù)此列式求解．

解答 解：（1）從A到B的過程中，根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=mgR$
解得：
${v_B}=\sqrt{2gR}$
（2）小滑塊沖上小平板車后，當(dāng)滑塊與小車的速度相等時(shí)，彈簧的彈性勢能最大，此過程中，小車和滑塊及彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，動量守恒，取向右為正，則有：
mv_B=（m+M）v
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}（m+M）{v}^{2}+{E}_{P}$
解得：${E_p}=\frac{MmgR}{M+m}$
（3）當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時(shí)，滑塊向左運(yùn)動，最終離開小車，此過程中，系統(tǒng)動量守恒，機(jī)械能守恒，則有：
mv_B=Mv_C-mv′
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}M{{v}_{C}}^{2}+\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
解得：${v_c}=\frac{2m}{M+m}\sqrt{2gR}$
答：（1）小滑塊從B點(diǎn)剛沖上小平板車時(shí)的速率v_B為$\sqrt{2gR}$；
（2）小滑塊沖上小平板車后，彈簧的最大彈性勢能E_p為$\frac{MmgR}{M+m}$；
（3）小平板車最終的速度v_c為$\frac{2m}{M+m}\sqrt{2gR}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了動量守恒定律及機(jī)械能守恒定律的直接應(yīng)用，知道小滑塊沖上小平板車后，當(dāng)滑塊與小車的速度相等時(shí)，彈簧的彈性勢能最大，難度適中．