解答：解：（1）f（x）=ax³+bx²+cx+d⇒f'（x）=3ax²+2bx+c
由題意得：f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的單調(diào)性
所以f'（0）=0
所以c=0
當(dāng)c=0時(shí)，f'（x）=0的另一個(gè)根為x=-

2b

3a

f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的單調(diào)性，
所以2≤-

2b

3a

≤4，
所以-6≤

b

a

≤-3
由題意得：f（x）=ax³+bx²+d=0的三個(gè)不同根為2，x_A，x_C
得f（2）=0
所以d=-8a-4b
f（x）=（x-2）[ax²+（2a+b）x+2（2a+b）]=0
所以ax²+（2a+b）x+2（2a+b）]=0二個(gè)不同根為x_A，x_C，
所以

△=(2a+b)(b-6a)＞0

，
解得

b a ＞6或 b a ＜-2

綜上得：-6≤

b

a

≤-3…（5分）
（2）假設(shè)在函數(shù)f（x）的圖象上存在一點(diǎn)M（x₀，y₀），使得f（x）在點(diǎn)M的切線斜率為3b
則 f'（x₀）=3b?3ax₀²+2bx₀-3b=0有解（*）
令t=

b

a

⇒-6≤t≤-3，a，b≠0
得：△=4a²（t²+9t）=4a²t（t+9）＜0與（*）矛盾
在函數(shù)f（x）的圖象上不存在一點(diǎn)M（x₀，y₀），使得f（x）在點(diǎn)M的切線斜率為3b…（10分）
（3）由（1）得：

|AC|2=(xA-xC)2=(xA+xC)2-4xAxC |AC|2= 1 a2 [(2a+b)2-8a(2a+b)] |AC|2=t2-4t-12=(t-2)2-16∈[9，48]

…（14分）
所以3≤|AC|≤4

3

點(diǎn)評：本題考查極值點(diǎn)處的函數(shù)值為0，極值點(diǎn)左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號相反；解決二次方程的根的問題常用到韋達(dá)定理．