2009年福建省寧德市普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查

 

數(shù)學(xué)（理科）試卷

 

本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

 

注意事項(xiàng)：

    1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2．考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上。請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

3．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳酸筆書(shū)寫，字體工整、筆跡清楚。

4．做選考題時(shí)，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答案題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑。

5．保持答題卡卡面的清楚，不折疊、不破損，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

參考公式：

錐體的體積公式：，其中為底面面積，為高；

球的表面積、體積公式：，，其中為球的半徑。

 

第I卷（選擇題  共50分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1．已知集合則=

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      A．    B．   C．    D．R

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2．為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

      A．第一象限       B．第二象限     C．第三象限      D．第四象限

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3．在等比數(shù)列中，若，則該數(shù)列的前6項(xiàng)和為

      A．56           B．63          C．127         D．255

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4．已知一個(gè)算法的程序框圖如圖所示，當(dāng)輸出的結(jié)

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果為0時(shí)，輸入的的值為

   A．―1或1            B．―2或0

   C．―2或1            D．―1或0

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5．若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的

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   右焦點(diǎn)重合，則的值為

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      A．3       B．6       C．      D．

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6．設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，

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   則是的

      A．充分非必要條件       B．必要非充分條件

      C．充要條件             D．既非充分也非必要條件

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7．右圖是一個(gè)多面體的三視圖，則其全面積為

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      A．              B．

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      C．           D．r

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8．設(shè)函數(shù)的部分圖象

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如圖所示，直線是它的一條對(duì)稱軸，則函數(shù)

的解析式為

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   A．    B．

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   C．   D．

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9．函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

      A．1             B．2             C．3              D．4

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10．已知四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，，點(diǎn)為內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的最大值等于

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      A．1          B．2          C．3            D．

 

 

 

第Ⅱ卷（非選擇題   共100分）

 

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二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填寫在答題卡的相應(yīng)位置。

11．計(jì)算：___________

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12．為了解某校教師使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的情況，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從該校200名授課教師中抽取20名教師，調(diào)查了他們上學(xué)期使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的次數(shù)，結(jié)果用莖葉圖表示如下：

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據(jù)此可估計(jì)該校上學(xué)期200名教師中，使用多媒體進(jìn)行教學(xué)次數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為_(kāi)____________。

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13．的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為64，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)___________。

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14．直線與軸、 軸分別交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，在中隨機(jī)取一點(diǎn)，則取出的點(diǎn)滿足的概率為_(kāi)______________。

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15．已知，數(shù)列的各項(xiàng)都為整數(shù)，其前項(xiàng)和為，若點(diǎn)在函數(shù)或的圖象上，且當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則=______________。

 

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三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟。

16．（本小題滿分13分）

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    袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1、2、3、4、5、6的卡片各1張，從中任取兩張卡片，其標(biāo)號(hào)分別記為、（其中）。

   （I）求這兩張卡片的標(biāo)號(hào)之和為偶數(shù)的概率；

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   （Ⅱ）設(shè)，求隨機(jī)變量的概率分布列與數(shù)學(xué)期望。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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17．（本小題滿分13分）

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    如圖，四棱錐的底面為菱形，平面，

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，、分別為、的中點(diǎn)。

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   （I）求證：平面；

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   （Ⅱ）求三棱錐的體積；

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   （Ⅲ）求平面與平面所成的銳二面角大小的余弦值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18．（本小題滿分13分）

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    如圖所示，某動(dòng)物園要為剛?cè)雸@的小老虎建造一間兩面靠

墻的三角形露天活動(dòng)室，已知已有兩面墻的夾角為60°（即

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），現(xiàn)有可供建造第三面圍墻的材料6米（兩面墻的

長(zhǎng)均大于6米），為了使得小老虎能健康成長(zhǎng)，要求所建造的三

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角形露天活動(dòng)室盡可能大，記，問(wèn)當(dāng)為多少時(shí)，所

建造的三角形露天活動(dòng)室的面積最大？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19．（本小題滿分13分）

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    已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為

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，離心率為。

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   （I）求橢圓的方程；

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   （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)（1，0）作直線交于、兩點(diǎn)，試問(wèn)：在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，

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使為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20．（本小題滿分14分）

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   已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),且在該點(diǎn)處切線的傾斜角為45°

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   （I）使用表示；

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   （Ⅱ）若在上為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；

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   （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，若存在，使得，試求

試題詳情

的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21．本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題記分。

（1）（本小題滿分7分）選修4―2；矩陣與變換選做題

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    直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，-2）在矩陣對(duì)應(yīng)變換作用下得到點(diǎn)（-2，4），

試題詳情

曲線在矩陣對(duì)應(yīng)變換作用下得到曲線，求曲線的方程。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（2）（本小題滿分7分）選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題

試題詳情

    在極坐標(biāo)系中，圓的方程為，直線，求圓心到

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直線的距離。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（3）（本小題滿分7分）選修4―5：不等式選講選做題

試題詳情

    已知正實(shí)數(shù)，，滿足，求的最小值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2009年寧德市普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查

試題詳情

說(shuō)明：

    一、本解答指出了每題要考察的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如

果考生的解法與本解法不同，可根據(jù)試題的主要考察內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)

則。

    二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一部分解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程

度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答

有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分。

    三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。

    四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分。

一、選擇題：本涂考察基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分50分。

1．A   2．A   3．B   4．C   5．B   6．B   7．C   8．D   9．C   10．D

二、填空題：本題考察基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分20分。

11．     12．60      13．-540    14．    15．820

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟。

16．本小題主要考察概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算

能力。滿分13分。

（I）、同奇的取法有種，同偶的取法有?????????????????????????????????????? 2分

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

（Ⅱ），

??????????????????????? 10分

其分布列為

1

2

3

4

5

????????????????????????????????????? 13分

17．本小題主要考察直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，體積的計(jì)算等知識(shí)，考察空間

想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力，滿分13分。

（I）連結(jié)BD，由已知得BD=2，

在正三角形BCD中，BE=EC，

，又，

…………………………2分

又平面，

，…………………………3分

，

平面PAD。……………………4分

（Ⅱ），

且，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

??????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）證法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則由（I）知平面的一個(gè)法向量為

，

設(shè)平面PBC的法向量為，

由

取得???????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

?????????????????????????????????????????????????? 12分

平面PAD與平面PBC所成的銳二面角大小的余弦值為??????????????????????? 13分

證法二：由（I）知平面平面，

平面平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

又

平面又平面

平面平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

就是平面與平面所成二面角的平面角???????????????????????????? 11分

在中，

?????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分

 

18．本小題主要考察兩角和差公式，二倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系，解斜三角形的基本知

識(shí)以及推理能力、運(yùn)算能力和應(yīng)用能力，滿分13分。

解：在中，

????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

化簡(jiǎn)得：

        ???????????????????????????????????????????????????????????? 4分

所以

????????????????????????? 6分

???????????????????? 8分

即???????????????????????????????????????????????????????? 10分

所以當(dāng)即時(shí)，=???????????????????????????????????? 12分

答：當(dāng)時(shí)，所建造的三角形露天活動(dòng)室的面積最大。?????????????????????????? 13分

 

19．本題主要考查直線、橢圓、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線方程的求法以及研究曲線的定性

定量的基本方法，考查運(yùn)算能力、探究能力和綜合解題能力，滿分13分。

解：（I）設(shè)橢圓E的方程為

由已知得：

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

橢圓E的方程為??????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅱ）法一：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，又設(shè)，則：

????????????????????????????????????????????????? 5分

 

①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，則

由

得

???????????????????????????????????????????????????????? 7分

所以

            ????????????????????????????????????????????? 9分

對(duì)于任意的值，為定值，

所以，得，

所以；??????????????????????????????????????????????????????????? 11分

②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線

由得

綜上述①②知，符合條件的點(diǎn)存在，起坐標(biāo)為。????????????????????????????? 13分

法二：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，又設(shè)則：

         =????????????????????????????????????????????????? 5分

①當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，

由

得

?????????????????????????????????????????????????????????? 7分

           ????????????????????????????????????????????????? 9分

設(shè)則

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

②當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線，由得：

綜上述①②知，符合條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為???????????????????????????????? 13分

20．本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的基本知識(shí)及其應(yīng)用等知識(shí)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法以及

推理和運(yùn)算能力�？疾檫\(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力，滿分14分。

解：（I）

             ?????????????????????????????????????????? 2分

由已知得：

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）方法一：由（I）得

在上為單調(diào)增函數(shù)，則恒成立，

即對(duì)恒成立。

即對(duì)恒成立，????????????????????????????????????????????????????????? 7分

令，

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9

方法二：同方法一。

令

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

（Ⅲ）方法一：

          ?????????????????????????????????????????????????????? 10分

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，??????????????????????????????????????????????? 12分

…

根據(jù)題意可知??????????????????????????????????????? 14分

方法二：同方法一，

???????????????????????????????????????? 10分

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，???????????????????????????????????????????????????? 12分

…

根據(jù)題意可知??????????????????????????????????????? 14分

方法三：設(shè)是數(shù)列中的最大項(xiàng)，則

??????????????????????????? 12分

為最大項(xiàng)，

所以?????????????????????????????????????????????????? 14分

以下同上

 

21．本題考查，本題滿分14分

（I）本題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運(yùn)算求解能力及化

歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分7分。

解：

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

，即???????????????????????????????????????????????????????? 4分

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

曲線的方程為??????????????????????????????????????????????????????????? 7分

（Ⅱ）本題主要考查直線和圓的極坐標(biāo)方程，考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分7

分。

解：

即???????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

圓心的坐標(biāo)為??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

，即???????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

圓心到直線的距離為1?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

（Ⅲ）本題主要考查利用常見(jiàn)不等式求條件最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分7分

解：

????????????????????????????????????????? 3分

?????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到“=”號(hào)，

當(dāng)時(shí)的最小值為??????????????????????????????? 7分

 

 


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