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題目列表(包括答案和解析)

設(shè)f（x）是定義在區(qū)間（-∞，+∞）上以2為周期的函數(shù)，對(duì)k∈Z，用Ik表示區(qū)間（2k-1，2k+1]，已知當(dāng)x∈I時(shí)，f（x）=x2．
（1）求f（x）在Ik上的解析表達(dá)式；
（2）對(duì)自然數(shù)k，求集合Mk={a|使方程f（x）=ax在Ik上有兩個(gè)不等的實(shí)根}

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設(shè)f（x）是定義在區(qū)間（-∞，+∞）上以2為周期的函數(shù)，對(duì)k∈Z，用Ik表示區(qū)間（2k-1，2k+1]，已知當(dāng)x∈I時(shí)，f（x）=x2．
（1）求f（x）在Ik上的解析表達(dá)式；
（2）對(duì)自然數(shù)k，求集合Mk={a|使方程f（x）=ax在Ik上有兩個(gè)不等的實(shí)根}

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（2009•大連二模）（I）已知函數(shù)f（x）=x-
1
x
，x∈(
1
4
，
1
2
)，P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))是f(x)圖象上的任意兩點(diǎn)，且x1＜x2．
①求直線PQ的斜率kPQ的取值范圍及f（x）圖象上任一點(diǎn)切線的斜率k的取值范圍；
②由①你得到的結(jié)論是：若函數(shù)f（x）在[a，b]上有導(dǎo)函數(shù)f′（x），且f（a）、f（b）存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′（ξ）=
f(b)-f(a)
b-a
f(b)-f(a)
b-a
成立（用a，b，f（a），f（b）表示，只寫出結(jié)論，不必證明）
（II）設(shè)函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)為g′（x），且g′（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，g（0）=0．試運(yùn)用你在②中得到的結(jié)論證明：
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（1）x＜g（x）．

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已知下列集合：

       ；

       ；

       ；

       ；

       ；

       （I）用列舉法表示上述各集合；

       （II）對(duì)集合，如果使，那么所表示的集合分別是什么？

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 已知下列集合：

    ；

    ；

    ；

    ；

    ；

    （I）用列舉法表示上述各集合；

    （II）對(duì)集合，如果使，那么所表示的集合分別是什么？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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說明：

    一、本解答指出了每題要考察的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如

果考生的解法與本解法不同，可根據(jù)試題的主要考察內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)

則。

    二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一部分解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程

度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答

有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分。

    三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。

    四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分。

一、選擇題：本涂考察基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分50分。

1．A   2．A   3．B   4．C   5．B   6．B   7．C   8．D   9．C   10．D

二、填空題：本題考察基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分20分。

11．     12．60      13．-540    14．    15．820

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。

16．本小題主要考察概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，以及推理與運(yùn)算

能力。滿分13分。

（I）、同奇的取法有種，同偶的取法有?????????????????????????????????????? 2分

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

（Ⅱ），

??????????????????????? 10分

其分布列為

1

2

3

4

5

????????????????????????????????????? 13分

17．本小題主要考察直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，體積的計(jì)算等知識(shí)，考察空間

想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力，滿分13分。

（I）連結(jié)BD，由已知得BD=2，

在正三角形BCD中，BE=EC，

，又，

…………………………2分

又平面，

，…………………………3分

，

平面PAD�！�4分

（Ⅱ），

且，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

??????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）證法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則由（I）知平面的一個(gè)法向量為

，

設(shè)平面PBC的法向量為，

由

取得???????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

?????????????????????????????????????????????????? 12分

平面PAD與平面PBC所成的銳二面角大小的余弦值為??????????????????????? 13分

證法二：由（I）知平面平面，

平面平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

又

平面又平面

平面平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

就是平面與平面所成二面角的平面角???????????????????????????? 11分

在中，

?????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分

 

18．本小題主要考察兩角和差公式，二倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系，解斜三角形的基本知

識(shí)以及推理能力、運(yùn)算能力和應(yīng)用能力，滿分13分。

解：在中，

????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

化簡(jiǎn)得：

        ???????????????????????????????????????????????????????????? 4分

所以

????????????????????????? 6分

???????????????????? 8分

即???????????????????????????????????????????????????????? 10分

所以當(dāng)即時(shí)，=???????????????????????????????????? 12分

答：當(dāng)時(shí)，所建造的三角形露天活動(dòng)室的面積最大。?????????????????????????? 13分

 

19．本題主要考查直線、橢圓、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線方程的求法以及研究曲線的定性

定量的基本方法，考查運(yùn)算能力、探究能力和綜合解題能力，滿分13分。

解：（I）設(shè)橢圓E的方程為

由已知得：

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

橢圓E的方程為??????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅱ）法一：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，又設(shè)，則：

????????????????????????????????????????????????? 5分

 

①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，則

由

得

???????????????????????????????????????????????????????? 7分

所以

            ????????????????????????????????????????????? 9分

對(duì)于任意的值，為定值，

所以，得，

所以；??????????????????????????????????????????????????????????? 11分

②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線

由得

綜上述①②知，符合條件的點(diǎn)存在，起坐標(biāo)為。????????????????????????????? 13分

法二：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，又設(shè)則：

         =????????????????????????????????????????????????? 5分

①當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，

由

得

?????????????????????????????????????????????????????????? 7分

           ????????????????????????????????????????????????? 9分

設(shè)則

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

②當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線，由得：

綜上述①②知，符合條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為???????????????????????????????? 13分

20．本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的基本知識(shí)及其應(yīng)用等知識(shí)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法以及

推理和運(yùn)算能力�？疾檫\(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力，滿分14分。

解：（I）

             ?????????????????????????????????????????? 2分

由已知得：

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）方法一：由（I）得

在上為單調(diào)增函數(shù)，則恒成立，

即對(duì)恒成立。

即對(duì)恒成立，????????????????????????????????????????????????????????? 7分

令，

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9

方法二：同方法一。

令

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

（Ⅲ）方法一：

          ?????????????????????????????????????????????????????? 10分

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，??????????????????????????????????????????????? 12分

…

根據(jù)題意可知??????????????????????????????????????? 14分

方法二：同方法一，

???????????????????????????????????????? 10分

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，???????????????????????????????????????????????????? 12分

…

根據(jù)題意可知??????????????????????????????????????? 14分

方法三：設(shè)是數(shù)列中的最大項(xiàng)，則

??????????????????????????? 12分

為最大項(xiàng)，

所以?????????????????????????????????????????????????? 14分

以下同上

 

21．本題考查，本題滿分14分

（I）本題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運(yùn)算求解能力及化

歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分7分。

解：

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

，即???????????????????????????????????????????????????????? 4分

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

曲線的方程為??????????????????????????????????????????????????????????? 7分

（Ⅱ）本題主要考查直線和圓的極坐標(biāo)方程，考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分7

分。

解：

即???????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

圓心的坐標(biāo)為??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

，即???????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

圓心到直線的距離為1?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

（Ⅲ）本題主要考查利用常見不等式求條件最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分7分

解：

????????????????????????????????????????? 3分

?????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到“=”號(hào)，

當(dāng)時(shí)的最小值為??????????????????????????????? 7分

 

 


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