2009年龍巖市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)（理科）試題

本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），共4頁(yè). 全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

參考公式：

樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差：                   s=，其中為樣本平均數(shù)；

柱體體積公式：V=Sh ，其中S為底面面積，h為高；

錐體體積公式：V=Sh，其中S為底面面積，h為高；

球的表面積、體積公式：，，其中R為球的半徑.

第I卷（選擇題   共50分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1. 已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)是

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A.                          B.                         C.                             D.

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2. 正項(xiàng)等比數(shù)列中，若，則等于

   A. -16                            B. 10                           C. 16                           D. 256

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3. 已知隨機(jī)變量，若，則等于

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   A. 0.1                                   B. 0.2                          C. 0.3                          Ｄ. 0.4

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4. 已知兩個(gè)向量a、b滿足ab =－，| a |=4，a和b的夾角為135°，則| b |為

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A. 12                             B. 3                             C. 6                             D.

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5. 若 ，且, 則實(shí)數(shù)的值為

Ａ. 1或3                       Ｂ. -3                          C. 1                             Ｄ. 1或 -3

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6. 實(shí)數(shù)、滿足 則=的取值范圍是

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A. [－1,0]                      B. －∞,0]                 C. [－1,+∞                D. [－1,1

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7. 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則等于

　 A．10                           B．8                           C．6                           D．4

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8. 一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為，得2分的概率為，得0分的概率為0.5（投籃一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中、，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1，則的最大值為

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A．                           B．                        C．                       D．

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9. 設(shè)函數(shù) 則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A.  4個(gè)                        B.  3個(gè)                      C.  2個(gè)                      D.  1個(gè)

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10. 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的公方差.設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為2，公方差為2的等方差數(shù)列，若將這種順序的排列作為某種密碼，則這種密碼的個(gè)數(shù)為

A.  18個(gè)                      B.  256個(gè)                   C.  512個(gè)                  D.  1024個(gè)

第Ⅱ卷（非選擇題    共100分）

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二、填空題：本大題共5小題，每小題４分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.

11. 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限和所支出的維修費(fèi)（萬(wàn)元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料

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使用年限

2

3

4

5

6

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維修費(fèi)用

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2.2

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3.8

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5.5

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6.5

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7.0

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若由資料可知和呈相關(guān)關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程中的=，據(jù)此估計(jì)，使用年限為10年時(shí)的維修費(fèi)用是           萬(wàn)元.

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（參考公式：，

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）

 

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12. 已知某算法的流程圖如圖所示，

則輸出的結(jié)果是_______________.

 

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13.  一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖、側(cè)視圖、

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俯視圖均為等腰直角三角形，且直角邊長(zhǎng)都為1，則它的

外接球的表面積是 　　　　　　　　　　　　　　.

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14. 設(shè)函數(shù)()，若，

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，則=         .

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15. 已知集合,

有下列命題

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①若　則.

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②若則.

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③若則的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

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④若則對(duì)于任意不等的實(shí)數(shù)，總有成立.

其中所有正確命題的序號(hào)是         .

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三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．

16. （本小題滿分13分）

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已知的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、,且，

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.

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（Ⅰ）求的值；

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（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值.

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17.（本小題滿分13分）

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如圖，正方形所在平面與等腰直角三角形所在平面

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互相垂直，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).

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（Ⅰ）求證：∥平面；

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（Ⅱ）線段上是否存在一點(diǎn)，使與平面

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 所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)求出的

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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18. （本小題滿分13分）

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某電腦生產(chǎn)企業(yè)生產(chǎn)一品牌筆記本電腦的投入成本是4500元/臺(tái). 當(dāng)筆記本電腦銷售價(jià)為6000元/臺(tái)時(shí)，月銷售臺(tái)；根據(jù)市場(chǎng)分析的結(jié)果表明，如果筆記本電腦的銷售價(jià)提高的百分率為，那么月銷售量減少的百分率為.記銷售價(jià)提高的百分率為時(shí)，電腦企業(yè)的月利潤(rùn)是（元）.

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（Ⅰ）寫出月利潤(rùn)（元）與的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）試確定筆記本電腦的銷售價(jià)，使得電腦企業(yè)的月利潤(rùn)最大.

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19.（本小題滿分13分）

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      Q
      個(gè)焦點(diǎn)是（1，0），兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)
      構(gòu)成等邊三角形.
      

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      （Ⅰ）求橢圓的方程；
      

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      （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)(4,0)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.
      

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      （?）求證：直線過(guò)軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；
      

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      （?）求△面積的取值范圍.
      

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      20.（本小題滿分14分）已知函數(shù).
      

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      （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
      

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      （Ⅱ）數(shù)列滿足：，且,記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，
      

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      且.
      

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      （?）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；并判斷是否仍為數(shù)列中的項(xiàng)？若是，請(qǐng)證明；否則，說(shuō)明理由.
      

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      （?）設(shè)為首項(xiàng)是,公差的等差數(shù)列，求證：“數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)”的充要條件是“存在整數(shù)，使”.
       
      

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      21. 本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
      （1）（本小題滿分7分）選修4－2：矩陣與變換
      

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      若點(diǎn)在矩陣     對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為，求矩陣的逆矩陣．
        （2）（本小題滿分7分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
      

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      已知曲線的極坐標(biāo)方程是．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是參數(shù)），點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，求||的最小值．
      （3）（本小題滿分7分）選修4－5：不等式選講
      

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      已知實(shí)數(shù)滿足且的最大值是7，求的值．
       
       
       
      2009年龍巖市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查
      

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      說(shuō)明：
             一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.
             二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.
             三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).
             四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.
      一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分50分. 
      1. A        2. C        3. C        4.C         5.D         6.D         7.
B        8.
D        9.
B        10.
C
      二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分20分.
      11.  12.38            12.  5           13.  3        
14.      15.
②③
      三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
      16. 本小題主要考查正弦定理、三角函數(shù)的倍角公式、兩角和公式等基本知識(shí)，考
      查學(xué)生的運(yùn)算求解能力. 滿分13分.
      解：（Ⅰ）由，知              
  ………………………（2分）
      又，得， 
              
 ，                  
………（5分）
      故                                  
………（6分）
      （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，
              
 
                       
 ………………（9分）
              
，
              
當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為．   ……（13分）                               

      17. 本題主要考查線線、線面、面面位置關(guān)系，線面角等基本知識(shí)，考查空間想像能力，運(yùn)算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.
      解：（Ⅰ）證明：如圖，取中點(diǎn)，連結(jié)，；
      ∥，∥，
      又，，
      ，…………（3分）
      四邊形為平行四邊形，
      ∥，
      又平面，平面，
      ∥平面．                       
………………………（6分）
      （Ⅱ）依題意知平面平面，，
      平面，得   
      又，.
      如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系-xyz， 
      ，可得、、，
      .
      設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 
      由   得 
      解得，．           
………………（9分）
      設(shè)線段上存在一點(diǎn)，其中，則，
      ，
      依題意：，即，
      可得，解得（舍去）．   
       所以上存在一點(diǎn)．   …………（13分）
      18．本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，
      考查應(yīng)用意識(shí). 滿分13分.
        解：（Ⅰ）依題意，銷售價(jià)提高后為6000（1+）元/臺(tái)，月銷售量為臺(tái)…（2分）
      則              
……………………（4分）
      即．       ……………………（6分）
      （Ⅱ）令，得，
      解得舍去）．                     
……………………（9分）
      當(dāng) 當(dāng)當(dāng)時(shí)，取得最大值．
      此時(shí)銷售價(jià)為元．
      答：筆記本電腦的銷售價(jià)為9000元時(shí)，電腦企業(yè)的月利潤(rùn)最大．…………………（13分）
      19．本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 滿分13分
      解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)是（1，0），所以半焦距=1.
      因?yàn)闄E圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.
      所以，解得
      所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.  …（4分）                

      （Ⅱ）（i）設(shè)直線：與聯(lián)立并消去得：.
      記，，
      ，
      .  ……………（5分）
      由A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，得，根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點(diǎn)為（，0），
      得，即.所以
      即定點(diǎn)（1 ， 0）.               
……（8分）
      （ii）由（i）中判別式，解得.     可知直線過(guò)定點(diǎn) (1,0).
      所以    　　　  
……………（10分）
      得,  令
      記，得，當(dāng)時(shí)，.
      在上為增函數(shù). 所以 ，
      得.故△OA1B的面積取值范圍是.        
  …（13分）
      20. 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、等差數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用合理的推理證明解決問(wèn)題的方法，考查分類與整合及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 滿分14分.
      解：（Ⅰ）因?yàn)?sub>，
      所以.          
………………（1分）
      （i）當(dāng)時(shí)，.
      （ii）當(dāng)時(shí)，由，得到，知在上.
      （iii）當(dāng)時(shí)，由，得到，知在上.
      綜上，當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí), 遞增區(qū)間為.                  
…………（4分）
      （Ⅱ）（i）因?yàn)?sub>，所以，即，
      ，即.     ……………………………………（6分）
      因?yàn)?sub>，
      當(dāng)時(shí)，，
      當(dāng)時(shí)，，
      所以.                 
…………………………（8分）
      又因?yàn)?sub>，
      所以令，則
      得到與矛盾，所以不在數(shù)列中.    ………（9分）
      （ii）充分性：若存在整數(shù)，使.
      設(shè)為數(shù)列中不同的兩項(xiàng)，則.
      又且,所以.
      即是數(shù)列的第項(xiàng).          
……………………（10分）
      必要性：若數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)，
      則，，（，為互不相同的正整數(shù)）
      則，令，
      得到 ，
      所以，令整數(shù)，所以.　……（11 分）
      下證整數(shù).若設(shè)整數(shù)則.令，
      由題設(shè)取使 
      即，所以
      即與相矛盾，所以.
      綜上, 數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)的充要條件是存在整數(shù)，使.                         
……………………（14分）
      21. （1）本題主要考查矩陣乘法、逆矩陣與變換等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力， 滿分7分.
      解： ，即 ，
      所以  得             
…………（4分）
           即M=   ，由得 .
      或 =1 ,  .         
…………（7分）
      （2）本題主要考查圓極坐標(biāo)方程和直線參數(shù)方程等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.
      解：曲線的極坐標(biāo)方程可化為,
      其直角坐標(biāo)方程為，即.      ………（2分）
      直線的方程為.
      所以，圓心到直線的距離         
………（5分）
      所以，的最小值為.                
…………（７分）
      （3）本題主要考查柯西不等式與不等式解法等基本知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.
      解：由柯西不等式：
      . …………（3分）
      因?yàn)?sub>
      所以，即.  
      因?yàn)?sub>的最大值是7,所以，得，
      當(dāng)時(shí)，取最大值，
      所以.                        
……………………（7分）
       
       
      
				
	
      
		
      


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