第四節(jié) 二次函數(shù)

 

【回顧與思考】

 

【例題經(jīng)典】

 

由拋物線的位置確定系數(shù)的符號

例1 （1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖1，則點(diǎn)M（b，）在（  ）

         A．第一象限    B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

    （2）（2005年武漢市）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結(jié)論：①a、b同號；②當(dāng)x=1和x=3時，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是（  ）

A．1個    B．2個    C．3個    D．4個

           

                       (1)                         (2)

【點(diǎn)評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵．

 

會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

例2  （2006年煙臺市）如圖（單位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動，直到AB與CD重合．設(shè)x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2．

    （1）寫出y與x的關(guān)系式；

    （2）當(dāng)x=2，3.5時，y分別是多少？

    （3）當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時，三角形移動了多長時間？

求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸.

 

例3  （2005年天津市）已知拋物線y=x2+x-．

    （1）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸．

    （2）若該拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為A、B，求線段AB的長．

    【點(diǎn)評】本題（1）是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．

 

 

 

 

 

【考點(diǎn)精練】

基礎(chǔ)訓(xùn)練

1．二次函數(shù)y=x2的圖象向右平移3個單位，得到新的圖象的函數(shù)表達(dá)式是（  ）

    A．y=x2+3    B．y=x2-3    C．y=（x+3）2    D．y=（x-3）2

2．二次函數(shù)y=-（x-1）2+3圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（  ）

    A．（-1，3）     B．（1，3）    C．（-1，-3）     D．（1，-3）

3．二次函數(shù)y=x2+x-6的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（  ）

    A．2和-3     B．-2和3    C．2和3     D．-2和-3

文本框: 4．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①a>0；②c>0；③b2-4ac>0，其中正確的個數(shù)是（  ）

A．0個     B．1個     C．2個     D．3個

5．（2006年常德市）根據(jù)下列表格中二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的對應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解x的范圍是（  ）

    x

6.17

6.18

6.19

6.20

y=ax2+bx+c

-0.03

-0.01

0.02

0.04

A．6<x<6.17       B．6.17<x<6.18   

C．6.18<x<6.19    D．6.19<x<6.20

6．（2006年南充市）二次函數(shù)y=ax2+bx+c，b2=ac，且x=0時y=-4則（  ）

    A．y最大=-4     B．y最小=-4    C．y最大=-3     D．y最小=3

7．（2006年蘇州市）拋物線y=2x2+4x+5的對稱軸是x=______．

8．（2006年宿遷市）將拋物線y=x2向左平移4個單位后，再向下平移2個單位，則此時拋物線的解析式是________．

9．（2006年錦州市）已知二次函數(shù)的圖象開口向上，且頂點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，請你寫出一個滿足條件的二次函數(shù)的表達(dá)式________．

10．（2006年長春市）函數(shù)y=x2+bx-c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），則b-c的值為______．

 

能力提升

文本框: 11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+c（a≠0）的圖象過正方形ABOC的三個頂點(diǎn)A，B，C，則ac的值是________．

12．觀察下面的表格：

    x

0

1

2

   ax2

 

2

 

ax2+bx+c

4

 

6

 （1）求a，b，c的值，并在表格內(nèi)的空格中填上正確的數(shù)；

 （2）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13．（2006年南通市）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，當(dāng)x≥0時，其圖象如圖所示．

 （1）求拋物線的解析式，寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

 （2）畫出拋物線y=ax2+bx+c當(dāng)x<0時的圖象；

（3）利用拋物線y=ax2+bx+c，寫出x為何值時，y>0．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14．（2006年長春市）如圖，P為拋物線y=x2-x+上對稱軸右側(cè)的一點(diǎn)，且點(diǎn)P在x軸上方，過點(diǎn)P作PA垂直x軸于點(diǎn)A，PB垂直y軸于點(diǎn)B，得到矩形PAOB．若AP=1，求矩形PAOB的面積．

 

 

 

15．（2006年莆田市）枇杷是莆田名果之一．某果園有100棵枇杷樹，每棵平均產(chǎn)量為40千克．現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些枇杷樹以提高產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹接受的陽光就會減少．根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗，每多種一棵樹，投產(chǎn)后果園中所有的枇杷樹平均每棵就會減少產(chǎn)量0.25千克．問：增種多少棵枇杷樹，投產(chǎn)后可以使果園枇杷的總產(chǎn)量最多？最多總產(chǎn)量是多少千克？[注：拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-，）]

16．（2006年常州市）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=a（x-1）2+k的圖像與x軸相交于點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在這個二次函數(shù)圖像的對稱軸上，若四邊形ABCD是一個邊長為2且有一個內(nèi)角為60°的菱形，求此二次函數(shù)的表達(dá)式．

試題詳情

 

答案:

例題經(jīng)典 

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例1：（1）D  （2）B  例2：（1）y=2x2，（2）8；24.5；（3）5秒．

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例3：（1）頂點(diǎn)（-1，-3），對稱軸x=-1，（2）2

考點(diǎn)精練

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1．D  2．B  3．A  4．C  5．C  6．C  7．x=-1  8．y=（x+4）2-2（y=x2+8x+14） 

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9．答案不唯一，符合要求即可．如：y=x2-2  10．1  11．-2 

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12．（1）a=2，b=-3，c=4，0，8，3  （2）頂點(diǎn)（，）對稱軸是直線x=

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13．（1）y=-x2+x+2，頂點(diǎn)坐標(biāo)（，） （2）略，（3）當(dāng)-1<x<4時，y>0．

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14．∵PA⊥x軸，AP=1，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1．當(dāng)y=1時，x2-x+=1，

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即x2-2x-1=0，解得x1=1+，x2=1-，

∵拋物線的對稱軸為x=1，點(diǎn)P在對稱軸的右側(cè)，

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∴x=1+，∴矩形PAOB的面積為（1+）個平方單位．

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15．設(shè)增種x棵時，果園的總產(chǎn)量為y千克，

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根據(jù)題意得：y=（100+x）（40-0.25x）=4000-25x+40x-0.25x2=-0.25x2+15x+4000，

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∵a=-0.25<0，

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∴當(dāng)x=-=-=30時，y最大，

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y最大值===4225．

答：當(dāng)增種30棵枇杷樹時，投產(chǎn)后果園總產(chǎn)量最多，達(dá)4225千克．

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16．解：本題共四種情況，設(shè)二次函數(shù)的圖像的對稱軸與x軸相交于點(diǎn)E，

（1）如圖①，

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當(dāng)∠CAD=60°時，因為ABCD為菱形，一邊長為2，

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所以DE=1，BE=，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1+，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-1），

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解得k=-1，a=，所以y=（x-1）2-1．

（2）如圖②，當(dāng)∠ACB=60°時，由菱形性質(zhì)知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0），

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點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，），解得k=-，a=，所以y=（x-1）2-，

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同理可得：y=-（x-1）2+1=，y=-（x-1）2+，

所以符合條件的二次函數(shù)的表達(dá)式有：

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y=（x-1）2-1，

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y=（x-1）2-，

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y=-（x-1）2+1，

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y=-（x-1）2+．

 

 

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