2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)二十二

難點(diǎn)22  軌跡方程的求法

求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學(xué)生對圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn).

●難點(diǎn)磁場

(★★★★)已知A、B為兩定點(diǎn)，動點(diǎn)M到A與到B的距離比為常數(shù)λ,求點(diǎn)M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線.

●案例探究

［例1］如圖所示，已知P(4，0)是圓x²+y²=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.

命題意圖：本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法”求曲線的軌跡方程，屬★★★★★級題目.

知識依托：利用平面幾何的基本知識和兩點(diǎn)間的距離公式建立線段AB中點(diǎn)的軌跡方程.

錯解分析：欲求Q的軌跡方程，應(yīng)先求R的軌跡方程，若學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問題的實(shí)質(zhì)，很難解決此題.

技巧與方法：對某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程.

解：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.

又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理：在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²－|OR|²=36－(x²+y²)

又|AR|=|PR|=

所以有(x－4)²+y²=36－(x²+y²),即x²+y²－4x－10=0

因此點(diǎn)R在一個圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動.

設(shè)Q(x,y)，R(x₁,y₁)，因?yàn)?i>R是PQ的中點(diǎn)，所以x₁=,

代入方程x²+y²－4x－10=0,得

－10=0

整理得：x²+y²=56,這就是所求的軌跡方程.

［例2］設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線 y²=4px(p＞0)上原點(diǎn)以外的兩個動點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.(2000年北京、安徽春招)

命題意圖：本題主要考查“參數(shù)法”求曲線的軌跡方程，屬★★★★★級題目.

知識依托：直線與拋物線的位置關(guān)系.

錯解分析：當(dāng)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂)時(shí)，注意對“x₁=x₂”的討論.

技巧與方法：將動點(diǎn)的坐標(biāo)x、y用其他相關(guān)的量表示出來，然后再消掉這些量，從而就建立了關(guān)于x、y的關(guān)系.

解法一：設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),M(x,y)依題意，有

①－②得(y₁－y₂)(y₁+y₂)=4p(x₁－x₂)

若x₁≠x₂,則有                                                        ⑥

①×②,得y₁²?y₂²=16p²x₁x₂

③代入上式有y₁y₂=－16p²                                                                  ⑦

⑥代入④，得                                                              ⑧

⑥代入⑤，得

所以

即4px－y₁²=y(y₁+y₂)－y₁²－y₁y₂

⑦、⑧代入上式，得x²+y²－4px=0(x≠0)

當(dāng)x₁=x₂時(shí)，AB⊥x軸，易得M(4p,0)仍滿足方程.

故點(diǎn)M的軌跡方程為x²+y²－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).

解法二：設(shè)M(x,y)，直線AB的方程為y=kx+b

由OM⊥AB，得k=－

由y²=4px及y=kx+b，消去y,得k²x²+(2kb－4p)x+b²=0

所以x₁x₂=,消x,得ky²－4py+4pb=0

所以y₁y₂=，由OA⊥OB，得y₁y₂=－x₁x₂

所以=－,b=－4kp

故y=kx+b=k(x－4p),用k=－代入，得x²+y²－4px=0(x≠0)

故動點(diǎn)M的軌跡方程為x²+y²－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).

［例3］某檢驗(yàn)員通常用一個直徑為2 cm和一個直徑為1 cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測一個直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個合適的同號標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問這兩個標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？

命題意圖：本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程，及將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：圓錐曲線的定義，求兩曲線的交點(diǎn).

錯解分析：正確理解題意及正確地將此實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是順利解答此題的關(guān)鍵.

技巧與方法：研究所給圓柱的截面，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，找到動圓圓心的軌跡方程.

解：設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與⊙O相內(nèi)切，與⊙A、⊙B相外切.

建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)⊙P的半徑為r,則

|PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5

∴點(diǎn)P在以A、O為焦點(diǎn)，長軸長2.5的橢圓上，其方程為

=1                      ①

同理P也在以O、B為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓上，其方程為

(x－)²+y²=1                      ②

由①、②可解得，∴r=

故所求圓柱的直徑為 cm.

●錦囊妙計(jì)

求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法.

(1)直接法  直接法是將動點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點(diǎn)軌跡方程.

(2)定義法  若動點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求.

(3)相關(guān)點(diǎn)法  根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點(diǎn)的軌跡方程.

(4)參數(shù)法  若動點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程.

求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

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二、填空題

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三、解答題

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難點(diǎn)磁場

解：建立坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)|AB|=2a,則A(－a,0）,B(a,0).

設(shè)M(x,y）是軌跡上任意一點(diǎn).

則由題設(shè)，得=λ,坐標(biāo)代入，得=λ,化簡得

(1－λ²)x²+(1－λ²)y²+2a(1+λ²)x+(1－λ²)a²=0

(1)當(dāng)λ=1時(shí)，即|MA|=|MB|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x=0，點(diǎn)M的軌跡是直線(y軸).

(2)當(dāng)λ≠1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x²+y²+x+a²=0.點(diǎn)M的軌跡是以

(－，0）為圓心，為半徑的圓.

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：∵|PF₁|+|PF₂|=2a,|PQ|=|PF₂|,

∴|PF₁|+|PF₂|=|PF₁|+|PQ|=2a,

即|F₁Q|=2a,∴動點(diǎn)Q到定點(diǎn)F₁的距離等于定長2a,故動點(diǎn)Q的軌跡是圓.

答案：A

2.解析：設(shè)交點(diǎn)P(x,y）,A₁(－3,0),A₂(3,0),P₁(x₀,y₀),P₂(x₀,－y₀)

∵A₁、P₁、P共線，∴

∵A₂、P₂、P共線，∴

解得x₀=

答案：C

二、3.解析：由sinC－sinB=sinA,得c－b=a,

∴應(yīng)為雙曲線一支，且實(shí)軸長為,故方程為.

答案：

4.解析：設(shè)P(x,y），依題意有,化簡得P點(diǎn)軌跡方程為4x²+4y²－85x+100=0.

答案：4x²+4y²－85x+100=0

三、5.解：設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切⊙O′于D、E兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)P.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|

=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動點(diǎn)P的軌跡方程為=1(y≠0)

6.解：設(shè)P(x₀,y₀）(x≠±a),Q(x,y).

∵A₁(－a,0),A₂(a,0).

由條件

而點(diǎn)P(x₀,y₀)在雙曲線上，∴b²x₀²－a²y₀²=a²b².

即b²(－x²)－a²()²=a²b²

化簡得Q點(diǎn)的軌跡方程為：a²x²－b²y²=a⁴(x≠±a).

7.解：(1)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x₁,y₁)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x₁,－y₁),又有A₁(－m,0),A₂(m,0),

則A₁P的方程為：y=                                                                 ①

A₂Q的方程為：y=－                                                                  ②

①×②得：y²=－                                                                ③

又因點(diǎn)P在雙曲線上，故

代入③并整理得=1.此即為M的軌跡方程.

(2)當(dāng)m≠n時(shí)，M的軌跡方程是橢圓.

(?)當(dāng)m＞n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±,0)，準(zhǔn)線方程為x=±,離心率e=；

(?)當(dāng)m＜n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±),準(zhǔn)線方程為y=±,離心率e=.

8.解：(1)∵點(diǎn)F₂關(guān)于l的對稱點(diǎn)為Q，連接PQ，

∴∠F₂PR=∠QPR，|F₂R|=|QR|，|PQ|=|PF₂|

又因?yàn)?i>l為∠F₁PF₂外角的平分線，故點(diǎn)F₁、P、Q在同一直線上，設(shè)存在R(x₀,y₀）,Q(x₁,y₁),F₁(－c,0),F₂(c,0).

|F₁Q|=|F₂P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=2a,則(x₁+c)²+y₁²=(2a)².

又

得x₁=2x₀－c,y₁=2y₀.

∴(2x₀)²+(2y₀)²=(2a)²，∴x₀²+y₀²=a².

故R的軌跡方程為：x²+y²=a²(y≠0)

(2)如右圖，∵S_△AOB=|OA|?|OB|?sinAOB=sinAOB

當(dāng)∠AOB=90°時(shí)，S_△AOB最大值為a².

此時(shí)弦心距|OC|=.

在Rt△AOC中，∠AOC=45°，