重慶八中高2009級高三(下)第二次月考
數(shù)學(xué)試題(理科)
第Ⅰ卷(選擇題,共50分)
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.復(fù)數(shù)的虛部為( )
A.1 B.i C.-1 D.-i
2.已知直線和平面,則的一個必要非充分條件是( )
A.且 B.且
C.且 D.與所成角相等
3.已知,則的值為( )
A. B. C. D.
4.設(shè)變量滿足約束條件,則的最大值是( )
A.1 B.
C. D.2
5.設(shè)兩個正態(tài)分布和
的密度函數(shù)圖象如圖所示,則有( )
A.
B.
C.
D.
6.設(shè)向量滿足,且,若,則
( )
A.2
B.
7.已知為R上的奇函數(shù),且,若,則=( )
A.0 B. C.-1 D.1
8.若直線l:與圓沒有公共點(diǎn),則過點(diǎn)的直線與橢圓的公共點(diǎn)個數(shù)為( )
A.至多一個 B.2個 C.1個 D.0個
9.二項式展開式中,所有有理項(不含的項)的系數(shù)之和為( )
A. B. C. D.
10.如果關(guān)于實(shí)數(shù)的方程的所有解中,僅有一個正數(shù)解,那么實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A. B.或
C. D.或
第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)
二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在題中橫線上.
11.集合,則 .
12.若,則 .
13.若雙曲線,上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離小于它到左準(zhǔn)線的距離,則雙曲線離心率的取值范圍是 .
14.已知點(diǎn)A、B、C、D在同一球面上,AB平面,,若,,,則B、C兩點(diǎn)間的球面距離是 .
15.設(shè)函數(shù),表示不超過實(shí)數(shù)m的最大整數(shù),則函數(shù)的值域是 .
三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.(本題滿分13分)
已知函數(shù)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.
(I)求的值;
(II)將函數(shù)的圖象向右平移個單位后,得到函數(shù)圖象,求在區(qū)間上的單調(diào)性.
17.(本題滿分13分)
某大學(xué)2009屆入學(xué)測試中,要求每位考生在10道題中隨機(jī)抽出2道題回答.
(I) 現(xiàn)在某位考生會答10道題中的6道,求這個考生答錯題目個數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(II)若答對其中一題即為及格,如果某位考生及格的概率小于,那么他最多會幾道題?
18.(本題滿分13分)
如圖,四棱錐-中,底面為矩形,側(cè)面底面,,,.
(I)證明:;
(II)設(shè)與平面所成的角為,求二面角--的大。
19.(本題滿分12分)
設(shè)數(shù)列的首項,其前n項和滿足:
.
(I)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(II)記的公比為,作數(shù)列,使,,求和:.
20.(本題滿分12分)
已知拋物線的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.
(I)求拋物線上任意一點(diǎn)Q到定點(diǎn)的最近距離;
(II)過點(diǎn)F作一直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),并在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)M,當(dāng)M不在x軸上時,證明:是一個定值,并求出這個值.
21.(本題滿分12分)
已知函數(shù)為常數(shù)是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù),函數(shù)
是區(qū)間上的減函數(shù).
(I)求的值;
(II)若在上恒成立,求的取值范圍;
(III)討論關(guān)于的方程的根的個數(shù).
一、選擇題
CDABA BCBAB
二、填空題
11. 12. -1 13.1<e<2 14. 15.{-1,0}
提示:8.利用點(diǎn)到直線的距離公式知,即在圓內(nèi),也在橢圓內(nèi),所以過點(diǎn)的直線與橢圓總有兩個不同的交點(diǎn).
9.可以轉(zhuǎn)化為求展開式中所有奇數(shù)項系數(shù)之和,賦值即可.
10.原問題有且僅有一個正實(shí)數(shù)解.令,則,令
,,由得或.又時,;,時,.所以.又
;.結(jié)合三次函數(shù)圖像即可.
15. ,
,即,當(dāng)m為整數(shù)時,值為0,m為小數(shù)時,值為-1,故所求值域?yàn)閧-1,0}
三、解答題
16. (1)…………………3分
由條件………………………………………6分
(2),令,解得,又 所以在上遞減,在上遞增…………………………13分
17.(1)答錯題目的個數(shù)
∴分布列為:,期望(道題)……7分
(2)設(shè)該考生會x道題,不會10-x道題,則…10分
解得:或(舍),故該考生最多會3道題…………………………………13分
18.(1)作,垂足為,連結(jié),由題設(shè)知,底面,
且為中點(diǎn),由知,,
從而,于是,由三垂線定理知,……………4分
(2)由題意,,所以側(cè)面,又側(cè)面,所以側(cè)面側(cè)面.作,垂足為,連接,則平面.
故為與平面所成的角,…………………………………7分
由,得:, 又,
因而,所以為等邊三角形.
作,垂足為,連結(jié).
由(1)知,,又,
故平面,,
是二面角的平面角………………………………………………...10分
.,,,
所以二面角為或……………………….13分
19.(1)由,得,…2分
又, 兩式相減,得:
,
綜上,數(shù)列為首項為1,公比為的等比數(shù)列…………………………..…….6分
(2)由,得,所以是首項為1,,公差為的等差數(shù)列,……………………………….…………………………....9分
……………………….………………………....13分
20.(1)設(shè)點(diǎn),則
所以,當(dāng)x=p時,…………………………………………………….….4分
(2)由條件,設(shè)直線,代入,得:
設(shè),則,
…......................................................................................7分
….10分
又,所以為定值2……………………………………………….12分
21. (1)是奇函數(shù),則恒成立,
,,故…………………….2分
(2)在上單調(diào)遞減,,,
只需 (恒成立.
令,則
,而恒成立,.….…………………….7分
(3)由(1)知,方程為,
令,, ,
當(dāng)時,,在上為增函數(shù);
當(dāng)時,,在上為減函數(shù);
當(dāng)時,.而,
函數(shù)、 在同一坐標(biāo)系的大致圖象如圖所示,
當(dāng)即時,方程無解;
當(dāng),即時,方程有一個根;
當(dāng),即時,方程有兩個根.………………………………….12分
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