2008年深圳市高三年級第一次調研考試

數學(理科)                       2008.3

一、              選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個備選項中,有且只有一項是符合要求的.

1.       設全集,集合,集合,則( 。

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A.                                   B.

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C.                         D.

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2.       復數,,則復數在復平面內對應的點位于             ( 。

A.第一象限         B.第二象限         C.第三象限         D.第四象限

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3.       如圖所示,一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正方形,俯視圖是一個直徑為1的圓,那么這個幾何體的全面積為                                (  )

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A.

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B.

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C.             

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D.

 

 

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4.       設是定義在上的奇函數,且當時,,則   (  )

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A.                B.               C.              D.

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5.       已知等差數列的公差,它的第1、5、17項順次成等比數列,則這個等比數列的公比是                                                            ( 。

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A.               B.               C.               D.

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6.       函數的零點所在的大致區(qū)間是                         (  )

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A.            B.            C.           D.

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7.       為調查深圳市中學生平均每人每天參加體育鍛煉時間(單位:分鐘),按鍛煉時間分下列四種情況統計:①0~10分鐘;②11~20分鐘;③21~30分鐘;④30分鐘以上.有10000名中學生參加了此項活動,下圖是此次調查中某一項的流程圖,其輸出的結果是6200,則平均每天參加體育鍛煉時間在0~20分鐘內的學生的頻率是      ( 。

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A.3800             B.6200             C.             D.

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8.       如圖,已知、,從點射出的光線經直線反向后再射到直線上,最后經直線反射后又回到點,則光線所經過的路程是              ( 。

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A.            B.               C.             D.

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二、              填空題:本大題共7小題,每小題5分,共30分.其中13~15小題是選做題,考生只能選做兩題,若三題全答,則只計算前兩題得分.

9.       在中,分別為角、的對邊,若,,,則邊的長等于     

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10.    某高三學生希望報名參加某6所高校中的3所學校的自主招生考試,由于其中兩所學校的考試時間相同,因此該學生不能同時報考這兩所學校.該學生不同的報考方法種數是

      .(用數字作答)

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11.    在中,兩直角邊分別為、,設為斜邊上的高,則,由此類比:三棱錐中的三條側棱、兩兩垂直,且長度分別為、,設棱錐底面上的高為,則            

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12.    已知定義在區(qū)間上的函數的圖像如圖所示,對于滿足的任意、,給出下列結論:

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①     ;

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②     ;

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③    

其中正確結論的序號是       .(把所有正確結論的序號都填上)

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13.    (坐標系與參數方程選做題)在極坐標系中,圓的圓心的極坐標是   ,它與方程)所表示的圖形的交點的極坐標是      

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14.    (不等式選講選做題)已知點是邊長為的等邊三角形內一點,它到三邊的距離分別為、,則、所滿足的關系式為      的最小值是       

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15.    (幾何證明選講選做題)如圖,的切線,切點為,直線交于、兩點,的平分線分別交直線、兩點,已知,則     ,     

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三、              解答題:本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.    (本小題滿分12分)

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已知向量,,函數

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(Ⅰ)求的最大值及相應的的值;

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(Ⅱ)若,求的值.

 

 

 

 

 

 

 

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17.    (本小題滿分12分)

將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處,小球將自由下落.小球在

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下落的過程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入袋或袋中.已知小球每次遇到黑色障礙物時,向左、右兩邊下落的概率都是

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    (Ⅰ)求小球落入袋中的概率;

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(Ⅱ)在容器入口處依次放入4個小球,記為落入袋中的小球個數,試求的概率和的數學期望

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18.    (本小題滿分14分)

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如圖所示的幾何體中,平面,,,

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,的中點.

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(Ⅰ)求證:;

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(Ⅱ)求二面角的余弦值.

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19.    (本小題滿分14分)

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在平面直角坐標系中,已知點、,是平面內一動點,直線

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的斜率之積為

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    (Ⅰ)求動點的軌跡的方程;

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(Ⅱ)過點作直線與軌跡交于兩點,線段的中點為,求直線的斜率的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20.    (本小題滿分14分)

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已知,),直線與函數、的圖像都

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相切,且與函數的圖像的切點的橫坐標為1.

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    (Ⅰ)求直線的方程及的值;

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(Ⅱ)若(其中的導函數),求函數的最大值;

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(Ⅲ)當時,求證:

 

 

 

 

 

 

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21.    (本小題滿分14分)

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如圖,、、…、)是曲線

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)上的個點,點)在軸的正半軸上,且是正三角形(是坐標原點).

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    (Ⅰ)寫出、;

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(Ⅱ)求出點)的橫坐標關于的表達式;

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(Ⅲ)設,若對任意的正整數,當時,不等式恒成立,求實數的取值范圍.

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2008年深圳市高三年級第一次調研考試

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一、              選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個備選項中,有且只有一項是符合要求的.

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

A

A

C

B

B

C

A

二、              填空題:本大題共7小題,每小題5分,共30分.其中13~15小題是選做題,考生只能選做兩題,若三題全答,則只計算前兩題得分.

9.             10.             11.

12.②③                                13.,

14.                     15.,

三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.    解:(Ⅰ)因為,,所以

   

因此,當,即)時,取得最大值

(Ⅱ)由,兩邊平方得

,即

因此,

17.    解:(Ⅰ)記“小球落入袋中”為事件,“小球落入袋中”為事件,則事件的對立事件為,而小球落入袋中當且僅當小球一直向左落下或一直向右落下,故

,

從而;

(Ⅱ)顯然,隨機變量,故

,

18.    解: 建立如圖所示的空間直角坐標系,

并設,則

    (Ⅰ),

所以,從而得

;

(Ⅱ)設是平面

法向量,則由,

,

可以取

    顯然,為平面的法向量.

    設二面角的平面角為,則此二面角的余弦值

19.    解:(Ⅰ)依題意,有),化簡得

),

這就是動點的軌跡的方程;

    (Ⅱ)依題意,可設、、,則有

,

兩式相減,得,由此得點的軌跡方程為

).

    設直線(其中),則

,

故由,即,解之得的取值范圍是

20.    解:(Ⅰ)依題意知:直線是函數在點處的切線,故其斜率

所以直線的方程為

    又因為直線的圖像相切,所以由

,

不合題意,舍去);

    (Ⅱ)因為),所以

時,;當時,

因此,上單調遞增,在上單調遞減.

因此,當時,取得最大值

(Ⅲ)當時,.由(Ⅱ)知:當時,,即.因此,有

21.    解:(Ⅰ),;

(Ⅱ)依題意,得,,由此及

    由(Ⅰ)可猜想:).

    下面用數學歸納法予以證明:

    (1)當時,命題顯然成立;

    (2)假定當時命題成立,即有,則當時,由歸納假設及

,即

解之得

不合題意,舍去),

即當時,命題成立.

    由(1)、(2)知:命題成立.

(Ⅲ)

       

       

),則,所以上是增函數,故當時,取得最小值,即當時,

,

    ,即

   

解之得,實數的取值范圍為


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