2009年求精中學高一下期第二階段數學測試（理科）
命題人：肖曉鐘 審題人：付遠中
一、選擇題（每小題5分，共5×10＝50分）
1．下列各向量中為單位向量的是
A．
＝（1，1） B．
＝（
，）C．
＝（
，－
） D．
＝（
，－）
2．若點A分有向線段
的比為－，則點B分有向線段
的比為
A．1
B．2 C．－1
D．
3．化簡
為
A．
B.
C.
D.
4．已知
為非零向量，則
成立的充要條件是
A.
（B）
與
有共同的起點 C.
D.
5．已知
，
，
，
夾角為
，則以
為鄰邊的平行四邊形的一條對角線長
A．15 B．
C．14 D．16
6．函數y＝cos(
－2x)的單調遞增區(qū)間是
A．[－kπ＋
，－kπ＋
π] B．[－kπ－
π，－kπ＋]
C．[2kπ＋，2kπ＋π] D．[2kπ－π，2kπ＋]（以上k∈Z）
7．若點
在第三象限，則角
的終邊必在
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
8．給出下列三個命題
（1）若tanAtanB>1，則△ABC一定是鈍角三角形；
（2）若sin2A＋sin2B＝sin2C，則△ABC一定是直角三角形；
（3）若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，則△ABC一定是等邊三角形
以上正確命題的個數有
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
9．已知銳角三角形的邊長分別為
，則
的范圍是
A.
B.
C.
D.
10. 已知
的三邊長
滿足
且
則的最大內角的度數是
A.
B.
C.
D.
二、填空題（每小題5分，共5×5=25分）
11．向量＝（2，－1）與向量共線，且滿足?＝－10，則向量＝______
12．若≤x≤
，則函數y＝
的值域是__________________
13．||＝1，
＝
，||＝2，且＋＋＝
，則?＋?＋?＝_____
14．已知△ABC的面積為2，BC＝5，∠A＝60°，則△ABC的周長是_________
15.計算：
。
三、解答題（16～18題，每題13分，19-21題12分，共75分）
16．已知
，求：
．
17.平行四邊形ABCD中，已知：
,
, 求證：A、E、F三點共線。
18．已知函數f(x)＝sinxcosx－cos2x＋，x∈R，
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）把函數y＝f(x)的圖像按＝（φ，0）（φ>0）平移后，圖像關于y軸對稱，求φ的最小值。
19．已知向量＝(cosθ，sinθ)，＝(sinθ，2)，＝（－2，cosθ），共中θ∈(－π，π)（1）若⊥(－)，求θ的值；
（2）令
＝＋－，若||≤
，求θ的取值范圍。
20．某海島上一觀察哨A在上午10點時測得一輪船在海島北偏西30°的C處，11點時測得船在海島北偏東30°的B處，11時20分時輪船到達位于海島正東且距海島
km的E港口，如果輪船始終勻速直線前進，問船速是多少？
21.ABC的三個內角A、B、C的對邊的長分別為a、b、c，有下列兩個條件：（1）a、b、c成等差數列;（2）a、b、c成等比數列.現(xiàn)給出三個結論：（1）
;（2）
;（3）
.
請你選取給定的兩個條件中的一個條件為條件，三個結論中的兩個為結論，組建一個你認為正確的命題，并證明之.
2009年求精中學高一下期第二階段測試
數學（理科）答題卡 總分：
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．
11． ； 12． ；13． ； 14． ；15． ；
三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步．
16．（本小題滿分13分）
17．（本小題滿分13分）
18．（本小題滿分13分）
19．（本小題滿分12分）
20．（本小題滿分12分）
21．（本小題滿分12分）
2009年求精中學高一下期第二階段數學測試（理科）
一、 選擇題：CACDA,ADCBB.
二、
填空題：11.（-4，2） 12.
13.-4 14. 12
15. 
三、解答題（16～18題，每題13分，19-21題12分，共75分）
16．解：∵
∴
∴
17.證明一：（利用共線向量的判定定理證明）
以
作為基底，有：
, 
，從而
, 所以A、E、F共線。
證明二：（利用三點共線的判定定理證明）
，而：
，所以A、E、F共線。
（可以建立坐標系，利用求出等比分點坐標公式求出E、F的坐標，再證明A、E、F共線）
18．（1）f(x)＝
sin2x－
(1＋cos2x)＋ ＝ sin2x－cos2x
＝sin(2x－
) 5分
∴T＝
＝π 2分
（2）函數y＝f(x)的圖象按
＝（φ，0）（φ>0）平移后，得y＝sin(2(x－φ)－) 2分，此函數圖象對稱軸方程為2(x－φ)－＝kπ＋
k∈Z ，又f(x)平移后關于y軸對稱，∴x＝0滿足上式有2(0－φ)－＝kπ＋，∴φ＝－
π－
k∈Z
2分
∵φ>0∴當k＝－1時，φmin＝ 2分
19．（1）由已知得
－
＝(sinθ，2)－(－2，co sθ)＝(sinθ＋2，2－cosθ) 1分 ∵⊥－
∴?(－)＝0
∴(cosθ，sinθ)(sinθ＋2，2－cosθ)＝0
∴cosθ(sinθ＋2)＋sinθ(2－cosθ)＝0 2分
∴2cosθ＋2sinθ＝0 ∴tanθ＝－1 ∵θ∈（－π，π）
∴θ＝－
或θ＝
3分
（2）由已知
＝＋－＝(cosθ＋sinθ＋2，sinθ＋2－cosθ) 1分
∴||2＝(cosθ＋sinθ＋2)2＋(sinθ＋2－cosθ)2＝10＋8sinθ 2分
∵||≤
∴10＋8sinθ≤14 ∴sinθ≤ ∵θ∈(－π，π)
∴θ∈
3分
20．輪船從點C到點B耗時60分鐘，從點B到點E耗時20分鐘，而船始終勻速，可見BC＝3EB
2分
設EB＝x，則BC＝3x，由條件知∠BAE＝60°，在△ABE中，由正弦定理得
①
在△ABC中，由正弦定理得 
�、�
2分
由條件∠BAC＝30°＋30°＝60° ∴sin∠BAC＝sin∠BAE
又∠ABC＋∠ABE＝180° ∴sin∠BAC＝sin(180°－∠ABC)＝sin∠ABE 2分
結合①②得
＝
∴AC＝3AE 2分
在△ACE中，由余弦定理，得
CE2＝AC2＋AE2－2AC?AE?cos120°＝9AE2＋AE2＋3AE2＝13AE2＝13×
∴CE＝20 2分 ∴BC＝15 ∴船速v＝15km/t 2分
21.解： 可以組建命題一：△ABC中，若a、b、c成等差數列，求證：（1）0＜B≤
（2）
；
命題二：△ABC中，若a、b、c成等差數列求證：（1）0＜B≤
（2）1＜
≤
命題三：△ABC中，若a、b、c成等差數列，求證：（1）
（2）1＜
≤
命題四：△ABC中，若a、b、c成等比數列，求證：（1）0＜B≤
（2）1＜≤
………………………………………………………………………………………………6分
下面給出命題一、二、三的證明：
（1）∵a、b、c成等差數列∴2b=a+c，∴b=
≥
且B∈（0，π），∴0＜B≤
（2）
（3）
∵0＜B≤ ∴
∴
∴
下面給出命題四的證明：
（4）∵a、b、c成等比數列∴b2=a+c，
且B∈（0，π），∴0＜B≤…14分
評分時若構建命題的結論僅一個但給出了正確證明，可判7分；若構建命題完全正確但論證僅正確給出一個，可判10分；若組建命題出現(xiàn)了錯誤，應判0分，即堅持錯不得分原則
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