已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F₂作垂直于x軸的直線(xiàn)MF₂交橢圓于M，設(shè)|MF₂|=d．
（1）證明：d，b，a成等比數(shù)列；
（2）若M的坐標(biāo)為(

2

，1)，求橢圓C的方程；
[文科]在（2）的橢圓中，過(guò)F₁的直線(xiàn)l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若

OA

•

OB

=0，求直線(xiàn)l的方程．
[理科]在（2）的橢圓中，過(guò)F₁的直線(xiàn)l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使得

OP

=

OA

+

OB

，求直線(xiàn)l的方程．

（文科做（1）（2）（4），理科全做）
已知過(guò)拋物線(xiàn)C₁：y²=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn) 
（1）證明：y₁y₂=-p²且（y₁+y₂）²=2p（x₁+x₂-p）；
（2）點(diǎn)Q為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（3）若x₁=1，x₂=4，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓或雙曲線(xiàn)C₂過(guò)A、B兩點(diǎn)，求曲線(xiàn)C₁和C₂的方程；
（4）在（3）的條件下，若曲線(xiàn)C₂的兩焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，線(xiàn)段AB上有兩點(diǎn)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）（x₃＜x₄），滿(mǎn)足：①S△F1F2A-S△F1F2C=S△F1F2D-S△F1F2B，②AB=3CD．在線(xiàn)段F₁ F₂上是否存在一點(diǎn)P，使PD=

11

，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

如圖，已知直線(xiàn)L：x=my+1過(guò)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B在直線(xiàn)G：x=a²上的射影依次為點(diǎn)D、E．
（1）若拋物線(xiàn)x2=4

3

y的焦點(diǎn)為橢圓C 的上頂點(diǎn)，求橢圓C的方程；（2）（理科生做）連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線(xiàn)AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N？若交于定點(diǎn)N，請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；
否則說(shuō)明理由．
（文科生做）若N(

a2+1

2

，0)為x軸上一點(diǎn)，求證：

AN

=λ

NE

．