題目列表(包括答案和解析)
已知.
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:當(dāng)時(shí),
恒成立;
(3)任取兩個(gè)不相等的正數(shù),且
,若存在
使
成立,證明:
.
【解析】(1)g(x)=lnx+,
=
(1’)
當(dāng)k0時(shí),
>0,所以函數(shù)g(x)的增區(qū)間為(0,+
),無減區(qū)間;
當(dāng)k>0時(shí),>0,得x>k;
<0,得0<x<k∴增區(qū)間(k,+
)減區(qū)間為(0,k)(3’)
(2)設(shè)h(x)=xlnx-2x+e(x1)令
= lnx-1=0得x=e, 當(dāng)x變化時(shí),h(x),
的變化情況如表
x |
1 |
(1,e) |
e |
(e,+ |
|
|
- |
0 |
+ |
h(x) |
e-2 |
|
0 |
↗ |
所以h(x)0, ∴f(x)
2x-e
(5’)
設(shè)G(x)=lnx-(x
1)
=
=
0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),
=0所以G(x) 為減函數(shù), 所以G(x)
G(1)=0, 所以lnx-
0所以xlnx
(x
1)成立,所以f(x)
,綜上,當(dāng)x
1時(shí), 2x-e
f(x)
恒成立.
(3) ∵=lnx+1∴l(xiāng)nx0+1=
=
∴l(xiāng)nx0=
-1
∴l(xiāng)nx0 –lnx
=
-1–lnx
=
=
=
(10’) 設(shè)H(t)=lnt+1-t(0<t<1),
=
=
>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函數(shù),并且H(t)在t=1處有意義, 所以H(t)
<H(1)=0∵
∴
=
∴l(xiāng)nx0 –lnx>0, ∴x0 >x
①h(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對稱;
②h(x)的圖象關(guān)于y軸對稱;
③h(x)的最小值為0;
④h(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增.
其中正確的命題是__________________.(把正確命題的序號都填上)
①h(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱; ②h(x)為偶函數(shù);
③h(x)的最小值為0; ④h(x)在(0,1)上為減函數(shù).
其中正確命題的序號為_____________.(將你認(rèn)為正確的命題的序號都填上)
【解析】如圖:|OB|=b,|O F1|=c.∴kPQ=,kMN=﹣
.
直線PQ為:y=(x+c),兩條漸近線為:y=
x.由
,得:Q(
,
);由
,得:P(
,
).∴直線MN為:y-
=﹣
(x-
),
令y=0得:xM=.又∵|MF2|=|F1F2|=2c,∴3c=xM=
,解之得:
,即e=
.
【答案】B
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