題目列表(包括答案和解析)
為了讓學(xué)生了解更多“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí),某中學(xué)舉行了一次“奧運(yùn)知識(shí)競賽”,共有800名學(xué)生參加了這次競賽,為了解本次競賽成績情況,從中抽取部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù),滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).請你根據(jù)尚未完成并有局部污損的頻率分布表,解答下列問題:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
60.5~70.5 |
| 0.16 |
70.5~80.5 | 10 | |
80.5~90.5 | 18 | 0.36 |
90.5~100.5 | ||
合計(jì) | 50 |
(1)若用系統(tǒng)抽樣的方法抽取50個(gè)樣本,現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)地編號(hào)為000,001,002,…,799,試寫出第二組第一位學(xué)生的編號(hào);
(2)填充頻率分布表的空格(將答案直接填在表格內(nèi)),并作出頻率分布直方圖;
(3)若成績在85.5~95.5分的學(xué)生為二等獎(jiǎng),問參賽學(xué)生中獲得二等獎(jiǎng)的學(xué)生約為多少人?
(本題滿分12分)為了讓學(xué)生了解更多“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí),某中學(xué)舉行了一次“奧運(yùn)知識(shí)競賽”,共有800名學(xué)生參加了這次競賽,為了解本次競賽成績情況,從中抽取部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù),滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).請你根據(jù)尚未完成并有局部污損的頻率分布表,解答下列問題:
分組 |
頻數(shù) |
頻率 |
60.5~70.5 |
|
0.16 |
70.5~80.5 |
10 |
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80.5~90.5 |
18 |
0.36 |
90.5~100.5 |
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合計(jì) |
50 |
|
(1)若用系統(tǒng)抽樣的方法抽取50個(gè)樣本,現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)地編號(hào)為000,001,002,…,799,試寫出第二組第一位學(xué)生的編號(hào);
(2)填充頻率分布表的空格(將答案直接填在表格內(nèi)),并作出頻率分布直方圖;
(3)若成績在85.5~95.5分的學(xué)生為二等獎(jiǎng),問參賽學(xué)生中獲得二等獎(jiǎng)的學(xué)生約為多少人?
(12分)為了讓學(xué)生了解更多“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí),某中學(xué)舉行了一次“奧運(yùn)知識(shí)競賽”,共有800名學(xué)生參加了這次競賽,為了解本次競賽成績情況,從中抽取部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù),滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).請你根據(jù)尚未完成并有局部污損的頻率分布表,解答下列問題:
(1)若用系統(tǒng)抽樣的方法抽取50個(gè)樣本,現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)地編號(hào)為000,001,002,…,799,試寫出第二組第一位學(xué)生的編號(hào);
(2)填充頻率分布表的空格(將答案直接填在表格內(nèi)),并作出頻率分布直方圖;
(3)若成績在85.5~95.5分的學(xué)生為二等獎(jiǎng),問參賽學(xué)生中獲得二等獎(jiǎng)的學(xué)生約為多少人?
一、選擇題(本大題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分)
(1)D (2)C (3)B (4)A
(5)C (6)A (7)D (8)C
二、填空題(本大題共 6 小題,每小題 5 分,共 30 分)
(9) (10)-14 (11) (12)
(13) (14)
三、解答題(本大題共 6 小題,共 80 分)
(15)(共 12 分)
解:(Ⅰ)由 得,
故在定義域?yàn)?br> (Ⅱ)因?yàn)椋沂堑谒南笙薜慕?
所以
故
.
(16)(共 13 分)
解法一:
(Ⅰ)由圖象可知,在(-∞,1)上,在(1,2)上,在上, 故在,上遞增,在(1,2)上遞減,因此在處取得極大值,所以.
(Ⅱ)
由
得
解得
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)設(shè)
又
所以
由,
即
得,
所以.
(17)(共 17 分)
解法一:
(Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD,
∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影.
又∵AB⊥AC,AC平面ABCD,
∴AC⊥PB.
(Ⅱ)連接BD,與 AC 相交于 O,連接 EO.
∵ABCD 是平行四邊形,
∴O 是 BD 的中點(diǎn)
又 E 是 PD 的中點(diǎn)
∴EO∥PB.
又 PB平面 AEC,EO平面 AEC,
∴PB∥平面 AEC.
(Ⅲ)取 BC 中點(diǎn) G,連接 OG,則點(diǎn) G 的坐標(biāo)為,=.
又
是二面角的平面角
二面角E-AC-B的大小為.
(18)(共 13 分)
解:記該應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為 A,B,C,
則
(Ⅰ)應(yīng)聘者用方案一考試通過的概率
應(yīng)聘者用方案二考試通過的概率
.
(Ⅱ)因?yàn)?所以
故,
即采用第一種方案,該應(yīng)聘者考試通過的概率較大.
(19)(共 14 分)
解法一:
(Ⅰ)由|PM|-|PN|=知?jiǎng)狱c(diǎn) P 的軌跡是以 為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,實(shí)
半軸長
又半焦距 c=2,故虛半軸長
所以 W 的方程為,
(Ⅱ)設(shè) A,B 的坐標(biāo)分別為,
當(dāng) AB⊥x軸時(shí),從而從而
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為,與W的方程聯(lián)立,消去y得
故
所以
.
又因?yàn)?所以,從而
綜上,當(dāng)AB⊥軸時(shí), 取得最小值2.
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)設(shè) A,B 的坐標(biāo)分別為,則, ,則
令
則且所以
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)””成立.
所以、的最小值是2.
(20)(共 14 分)
(Ⅰ)解:,(答案不惟一)
(Ⅱ)解:因?yàn)樵诮^對差數(shù)列中,.所以自第 20 項(xiàng)開始,該數(shù)列是,,
即自第 20 項(xiàng)開始。每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值 3,0,3. 所以當(dāng)時(shí),的極限
不存在.
當(dāng)時(shí), ,所以
(Ⅲ)證明:根據(jù)定義,數(shù)列必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng).證明如下
假設(shè)中沒有零項(xiàng),由于,所以對于任意的n,都有,從而
當(dāng)時(shí), ;
當(dāng)
時(shí),
即的值要么比至少小1,要么比至少小1.
令
則
由于是確定的正整數(shù),這樣減少下去,必然存在某項(xiàng)
,這與()
矛盾. 從而必有零項(xiàng).
若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第項(xiàng),記,則自第項(xiàng)開始,每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值 0,, , 即
所以絕對差數(shù)列中有無窮多個(gè)為零的項(xiàng).
絕密★啟用前
2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
數(shù) 學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)(北京卷)(編輯:ahuazi)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,第Ⅰ卷1至2頁,第Ⅱ卷3至9頁,共150分?荚嚂r(shí)間120分鐘?荚嚱Y(jié)束,將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷(選擇題 共40分)
注意事項(xiàng):
1.答第Ⅰ卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫在答題卡。
2.每小題選出答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。不能答在試卷上。
一、本大題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)。
(1) 在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于(D)
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解:故選D
(2)若與都是非零向量,則“”是“”的(C)
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
解:ÛÛÛ
故選C
(3)在這五個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有(B)
(A)36個(gè) (B)24個(gè)
(C)18個(gè) (D)6個(gè)
解:依題意,所選的三位數(shù)字有兩種情況:(1)3個(gè)數(shù)字都是奇數(shù),有種方法(2)3個(gè)數(shù)字中有一個(gè)是奇數(shù),有,故共有+=24種方法,故選B
(4)平面的斜線交于點(diǎn),過定點(diǎn)的動(dòng)直線與垂直,且交于點(diǎn),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是(A)
(A)一條直線 (B)一個(gè)圓
(C)一個(gè)橢圓 (D)雙曲線的一支
解:設(shè)與¢是其中的兩條任意的直線,則這兩條直線確定一個(gè)平面,且斜線垂直這個(gè)平面,由過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直可知過定點(diǎn)與垂直所有直線都在這個(gè)平面內(nèi),故動(dòng)點(diǎn)C都在這個(gè)平面與平面的交線上,故選A
(5)已知是上的減函數(shù),那么的取值范圍是(C)
(A) (B)
(C) (D)
解:依題意,有0<a<1且3a-1<0,解得0<a<,又當(dāng)x<1時(shí),(3a-1)x+4a>7a-1,當(dāng)x>1時(shí),logax<0,所以7a-1³0解得x³故選C
(6)在下列四個(gè)函數(shù)中,滿足性質(zhì):“對于區(qū)間上的任意,恒成立”的只有(A)
(A) (B)
(C) (D)
解:|>1<1\ |<|x1-x2|故選A
(7)設(shè),則等于(D)
(A) (B)
(C) (D)
解:依題意,為首項(xiàng)為2,公比為8的前n+4項(xiàng)求和,根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得D
(8)下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型,在某高峰時(shí)段,單位時(shí)間進(jìn)出路口的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)如圖所示,圖中分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過路段的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)(假設(shè):單位時(shí)間內(nèi),在上述路段中,同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等),則20,30;35,30;55,50 (C)
(A)
(B)
(C)
(D)
解:依題意,有x1=50+x3-55=x3-5,\x1<x3,同理,x2=30+x1-20=x1+10
\x1<x2,同理,x3=30+x2-35=x2-5\x3<x2故選C
絕密★啟用前
2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
數(shù) 學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)(北京卷)
第Ⅱ卷(共110分)
注意事項(xiàng):
1.用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上
2.答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚。
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。把答案填在題中橫線上。
(9)的值等于
解:==
(10)在的展開式中,的系數(shù)為(用數(shù)字作答).
解:令得r=1故 的系數(shù)為
=-14
(11)若三點(diǎn)共線,則的值等于
解:, ,依題意,有(a-2)?(b-2)-4=0
即ab-2a-2b=0所以=
(12)在中,若,則的大小是.
解: Ûa:b:c=5:7:8設(shè)a=5k,b=7k,c=8k,由余弦定理可解得的大小為.
(13)已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足條件,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),那么的最小值等于,最大值等于.
解:畫出可行域,如圖所示:
易得A(2,2),OA=
B(1,3),OB=
C(1,1),OC=
故|OP|的最大值為,
最小值為.
(14)已知三點(diǎn)在球心為,半徑為的球面上,,且,那么兩點(diǎn)的球面距離為,球心到平面的距離為.
解:如右圖,因?yàn)椋訟B是截面
的直徑,又AB=R,所以△OAB是等邊三角形,
所以ÐAOB=,故兩點(diǎn)的球面距離為,
于是ÐO1OA=30°,所以球心到平面的距離
OO1=Rcos30°=.
三、解答題:本大題共6小題,共80分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
(15)(本小題共12分)
已知函數(shù),
(Ⅰ)求的定義域;
(Ⅱ)設(shè)是第四象限的角,且,求的值.
解:(1)依題意,有cosx¹0,解得x¹kp+,
即的定義域?yàn)椋鹸|xÎR,且x¹kp+,kÎZ}
(2)=-2sinx+2cosx\=-2sina+2cosa
由是第四象限的角,且可得sina=-,cosa=\=-2sina+2cosa
=
(16)(本小題共13分)
已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值,其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),,如圖所示.求:
(Ⅰ)的值;
(Ⅱ)的值.
解:(1)由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,當(dāng)xÎ(-¥,1)時(shí),>0,當(dāng)xÎ(1,2)時(shí),<0,當(dāng)xÎ
(2,+¥)時(shí),>0,所以當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得極大值,
即x0=1
(2)=3ax2+2bx+c,依題意有:,=5即有
3a+2b+c=0 ,12a+4b+c=0,a+b+c=5解得a=2,b=-9,c=12
(17)(本小題共14分)
如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐中,,平面,且,點(diǎn)是的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)求二面角的大小.
解:(1)由平面可得PA^AC
又,所以AC^平面PAB,所以
(2)如圖,連BD交AC于點(diǎn)O,連EO,則
EO是△PDB的中位線,\EOPB
\PB平面
(3)如圖,取AD的中點(diǎn)F,連EF,F(xiàn)O,則
EF是△PAD的中位線,\EFPA又平面,\EF^平面
同理FO是△ADC的中位線,\FOAB\FO^AC由三垂線定理可知\ÐEOF是二面角E-AC-D的平面角.又FO=AB=PA=EF\ÐEOF=45°而二面角與二面角E-AC-D互補(bǔ),故所求二面角的大小為135°.
(18)(本小題共13分)
某公司招聘員工,指定三門考試課程,有兩種考試方案.
方案一:考試三門課程,至少有兩門及格為考試通過;
方案二:在三門課程中,隨機(jī)選取兩門,這兩門都及格為考試通過.
假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是,且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.
(Ⅰ)分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時(shí)考試通過的概率;
(Ⅱ)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.(說明理由)
解:設(shè)三門考試課程考試通過的事件分別為A,B,C,相應(yīng)的概率為a,b,c
(1)考試三門課程,至少有兩門及格的事件可表示為AB+AC+BC+ABC,設(shè)其概率為
P1,則P1=ab(1-c)+a(1-b)c+(1-a)bc+abc=ab+ac+bc-2abc
設(shè)在三門課程中,隨機(jī)選取兩門,這兩門都及格的概率為P2,則P2=ab+ac+bc
(2)P1-P2=(ab+ac+bc-2abc)-(ab+ac+bc)=ab+ac+bc-2abc
=(ab+ac+bc-3abc)=〔ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)〕>0
\P1>P2即用方案一的概率大于用方案二的概率.
(19)(本小題共14分)
已知點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足條件.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若是上的不同兩點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),求的最小值.
解:(1)依題意,點(diǎn)P的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,所求方程為:
(x>0)
(2) 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為x=x0,此時(shí)A(x0,),
B(x0,-),=2
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+b,代入雙曲線方程中,得:
(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0……………………1°
依題意可知方程1°有兩個(gè)不相等的正數(shù)根,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則
解得|k|>1又=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=>2
綜上可知的最小值為2
(20)(本小題共14分)
在數(shù)列中,若是正整數(shù),且,則稱為“絕對差數(shù)列”.
(Ⅰ)舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的“絕對差數(shù)列”(只要求寫出前十項(xiàng));
(Ⅱ)若“絕對差數(shù)列”中,,數(shù)列滿足,,分別判斷當(dāng)時(shí),與的極限是否存在,如果存在,求出其極限值;
(Ⅲ)證明:任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個(gè)為零的項(xiàng).
解:(Ⅰ),(答案不惟一)
(Ⅱ)因?yàn)樵诮^對差數(shù)列中,.所以自第 20 項(xiàng)開始,該數(shù)列是,,
即自第 20 項(xiàng)開始。每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值 3,0,3. 所以當(dāng)時(shí),的極限
不存在.
當(dāng)時(shí), ,所以
(Ⅲ)證明:根據(jù)定義,數(shù)列必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng).證明如下
假設(shè)中沒有零項(xiàng),由于,所以對于任意的n,都有,從而
當(dāng)時(shí), ;
當(dāng) 時(shí),
即的值要么比至少小1,要么比至少小1.
令
則
由于是確定的正整數(shù),這樣減少下去,必然存在某項(xiàng) ,這與()
矛盾. 從而必有零項(xiàng).
若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第項(xiàng),記,則自第項(xiàng)開始,每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值 0,, , 即
所以絕對差數(shù)列中有無窮多個(gè)為零的項(xiàng).
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