(2)若點A(x0.f(x0))在函數(shù)的圖象上.求證:點A關(guān)于直線x=1的對稱點B 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），T（x0，f（x0））在函數(shù)f（x）=x3-ax（a＞0）的圖象上，其中x1，x2是f（x）的兩個極值點，x0（x0≠0）是f（x）的一個零點，若函數(shù)f（x）的圖象在T處的切線與直線AB垂直，則a=
3
2
3
2
．

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設(shè)點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），T（x0，f（x0））在函數(shù)f（x）=x3-ax（a＞0）的圖象上，其中x1，x2是f（x）的兩個極值點，x0（x0≠0）是f（x）的一個零點，若函數(shù)f（x）的圖象在T處的切線與直線AB垂直，則a=______．

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設(shè)點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），T（x0，f（x0））在函數(shù)f（x）=x3-ax（a＞0）的圖象上，其中x1，x2是f（x）的兩個極值點，x0（x0≠0）是f（x）的一個零點，若函數(shù)f（x）的圖象在T處的切線與直線AB垂直，則a=________．

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如果f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極值，稱點（x0，f（x0））是函數(shù)f（x）的一個極值點．已知函數(shù)f（x）=（ax-b）e
a
x
（x≠0且a≠0）
（1）若函數(shù)f（x）總存在有兩個極值點A，B，求a，b所滿足的關(guān)系；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個極值點A，B，且存在a∈R，求A，B在不等式|x|＜1表示的區(qū)域內(nèi)時實數(shù)b的范圍．
（3）若函數(shù)f（x）恰有一個駐點A，且存在a∈R，使A在不等式
|x|＜1
|y|＜e2
表示的區(qū)域內(nèi)，證明：0≤b＜1．

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函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)可導(dǎo)．導(dǎo)函數(shù)f′（x）是減函數(shù)，且f′（x）＞0，x0∈（0，+∞）．g（x）=kx+m是y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線方程．
（1）用x0，f（x0），f′（x0）表示m；
（2）證明：當(dāng)x∈（0，+∞）時，g（x）≥f（x）；
（3）若關(guān)于x的不等式x2+1≥ax+b≥
3
2
x
2
3
在（0，+∞）上恒成立，其中a，b為實數(shù)，求b的取值范圍及a，b所滿足的關(guān)系．

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一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分）

1．A    2．B    3．C    4．A    5．D    6．C    7．B    8．C    9．A

10．B   11．（理）C（文）B       12．D

二、填空題（本大題共4小題，每題4分，共16分）

13．                           14．②③                 15．47                    16．□

三、解答題（本大題共6小題，共計76分）

17．解：

   （1）依題意函數(shù)的圖象按向量平移后得

                                                ………………………2分

       即=                                                ………………………4分

       又

       比較得a=1，b=0                                                                  ………………………6分

   （2）

       =                                                             ………………………9分

      

      

       ∴的單調(diào)增區(qū)間為[，]          ……………………12分

18．解：

   （1）設(shè)連對的個數(shù)為y，得分為x

       因為y=0，1，2，4，所以x=0，2，4，8.

      

x

0

2

4

8

   

       于是x的分布列為


   

    
    

    
……9分
 
 
   （2）Ex=0×+2×+4×+8×=2
       即該人得分的期望為2分。                                                     ……………………12分
   （文）
   （1）從口袋A中摸出的3個球為最佳摸球組合即為從口袋A中摸出2個紅球和一個黑球
       其概念為                                                     ……………………6分
   （2）由題意知：每個口袋中摸球為最佳組合的概率相同，從5個口袋中摸球可以看成5
       次獨立重復(fù)試驗，故所求概率為………………………12分
19．解法一：以D為原點，DA，DC，DD1
       所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建
       立空間直角坐標(biāo)系D―xyz，則
       A（a，0，0）、B（a，2a，0）、
       C（0，2a，0）、A1（a，0，a）、
       D1（0，0，a）。E、P分別是BC、A1D1
       的中點，M、N分別是AE、CD1的中點
       ∴……………………………………2分
  
（1）⊥面ADD1A1
       而=0，∴⊥，又∵M(jìn)N面ADD1A1，∴MN∥面ADD1A1；………4分
  
（2）設(shè)面PAE的法向量為，又
       則又
       ∴=（4，1，2），又你ABCD的一個法向量為=（0，0，1）
       ∴
       所以二面角P―AE―D的大小為                        ………………………8分
  
（3）設(shè)為平面DEN的法向量⊥，⊥
       又=（），=（0，a，），（，0，a）
       ∴所以面DEN的一個法向量=（4，-1，2）
       ∵P點到平面DEN的距離為
       ∴
       
       所以                                              ……………………12分
       解法二：
   （1）證明：取CD的中點為K，連接
       ∵M(jìn)，N，K分別為AE，CD1，CD的中點
       ∴MK∥AD，ND∥DD1，∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1
       ∴面MNK∥面ADD1A1，∴MN∥面ADD1A1，                     ………………………4分
   （2）設(shè)F為AD的中點，∵P為A1D1的中點
       ∴PF∥DD1，PF⊥面ABCD
       作FH⊥AE，交AE于H，連結(jié)PH，則由三垂
       線定理得AE⊥PH，從而∠PHF為二面角
       P―AE―D的平面角。
       在Rt△AAEF中，AF=，EF=2，AE=，
       從而FH=
       在Rt△PFH中，tan∠PHF=
       故：二面角P―AE―D的大小為arctan
   （3）
       作DQ⊥CD1，交CD1于Q，
       由A1D1⊥面CDD1C1，得A1D1⊥DQ，∴DQ⊥面BCD1A1。
       在Rt△CDD1中，
       ∴  ……………………12分
20．解：（理）
  
（1）函數(shù)的定義域為（0，+）
       當(dāng)a=-2e時，            ……………………2分
       當(dāng)x變化時，，的變化情況如下：
（0，）
（，+）
―
0
＋
ㄋ
極小值
ㄊ
       由上表可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，）
       單調(diào)遞增區(qū)間為（，+）
       極小值是（）=0                                                           ……………………6分
  
（2）由           ……………………7分
       又函數(shù)為[1，4]上單調(diào)減函數(shù)，
       則在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立。
       即在,[1，4]上恒成立                                           ……………………10分
       又=在[1，4]上為減函數(shù)
       ∴的最小值為
       ∴                                                                            ……………………12分
  
（文）（1）∵函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞
       減，
       ∴x=1時，取得極大值，
       ∴
       ∴4-12+2a=0a=4                                                                                      ………………………4分
   （2）A（x0，f（x0））關(guān)于直線x=1的對稱點B的坐標(biāo)為（2- x0，f（x0）
       
       =
       ∴A關(guān)于直線x=1的對稱點B也在函數(shù)的圖象上            …………………8分
   （3）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有3個交點，等價于方程
       恰有3個不等實根，
       
       ∵x=0是其中一個根，
       ∴方程有兩個非零不等實根
                                       ……………………12分
21．解：（理）（1）由已知得：
               
       ∵                                                     ①…………………2分
       ∴                                                                 ②
       ②―①
       即
       又
       ∴                                                                      ……………………5分
       ∴{an}成等差數(shù)列，且d=1，又a1=1，∴…………………6分
  
（2）∵
       ∴
       ∴                   …………………8分
       兩式相減
       
       ∴                                                          ……………………10分
       ∴               ……………………12分
   （文）（1）由已知得：
       
       ∴
       ∵                                                     ①…………………2分
       ∴                                                                 ②
       ②―①
       即
       又
       ∴                                                                      ……………………5分
       ∴{an}成等差數(shù)列，且d=1，又a1=1，∴…………………6分
   （2）∵
       ∴
       ∴                   …………………8分
       兩式相減
       
       ∴                                                          ……………………10分
       ∴               ……………………12分
22．解：（1）
       設(shè)M（x，y）是曲線C上任一點，因為PM⊥x軸，
       所以點P的坐標(biāo)為（x，3y）                                                  …………………2分
       點P在橢圓，所以
       因此曲線C的方程是                                           …………………5分
   （2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，顯然不滿足條件
       所以設(shè)直線l的方程為與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），N點所在直線方
       程為
       ，由得
                                               ……………………6分
       由△=………………8分
       ∵,所以四邊形OANB為平行四邊形              …………………9分
       假設(shè)存在矩形OANB，則
       
       
       所以
       即                                                                   ……………………11分
       設(shè)N（），由，得
       ，
       即N點在直線
       所以存在四邊形OANB為矩形，直線l的方程為 ……………………14分
 
 
 
		

	
	

		



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