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選修4－5：（本小題滿分10分）不等式選講
已知實數(shù)a、b、c、d滿足，，求ac＋bd的最大值．

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（選做題）本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．[選修4-1：幾何證明選講]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點（不與點A，C重合），延長BD至點E．
求證：AD的延長線平分∠CDE
B．[選修4-2：矩陣與變換]
已知矩陣A=

1 2 -1 4

（1）求A的逆矩陣A^-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，以極點為原點，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 t y= 3 2 t+1

（t為參數(shù)），求直線l被曲線C截得的線段長度．
D．[選修4-5，不等式選講]（本小題滿分10分）
設(shè)a，b，c均為正實數(shù)，求證：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

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（選做題）在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點，BM的延長線交⊙O于N，過
N點的切線交CA的延長線于P．
（1）求證：PM²=PA•PC；
（2）若⊙O的半徑為2

3

，OA=

3

OM，求MN的長．
B．選修4-2：矩陣與變換
曲線x²+4xy+2y²=1在二階矩陣M=

.

1 a b 1

.

的作用下變換為曲線x²-2y²=1，求實數(shù)a，b的值；
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

x=1+ 4 5 t  y=-1- 3 5 t

（t為參數(shù)），求直線l被圓C所截得的弦長．
D．選修4-5：不等式選講
設(shè)a，b，c均為正實數(shù)．
（1）若a+b+c=1，求a²+b²+c²的最小值；
（2）求證：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

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1．1   2．    3．    4．－8    5．   6．20         7．

8．1   9．0     10．    11．   12．     13．   14．（1005，1004）

15．⑴ ∵ ，………………… 2分

又∵ ，∴ 而為斜三角形，

∵，∴.   ……………………………………………… 4分

∵，∴ .  …………………………………… 6分

⑵∵，∴ …12分

即，∵，∴.…………………………………14分

16．⑴∵平面，平面，所以，…2分

∵是菱形，∴，又，

∴平面，……………………………………………………4分

又∵平面，∴平面平面．  …………………………6分

⑵取中點，連接,則，

∵是菱形，∴，

∵為的中點，∴，………………10分

∴．

∴四邊形是平行四邊形，∴，………………12分

又∵平面，平面．

∴平面．     ……………………………………14分

17．解：（1）依題意數(shù)列的通項公式是，

故等式即為，

同時有，

兩式相減可得        …………………3分

可得數(shù)列的通項公式是，

知數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列。           ………6分

18．解：（Ⅰ）當(dāng)9天購買一次時，該廠用于配料的保管費用

P=70+=88(元)             ……………4分 

   （Ⅱ）（1）當(dāng)x≤7時

y=360x+10x+236=370x+236                        ………5分

        （2）當(dāng) x>7時

y=360x+236+70+6[()+()+……+2+1]  

              =                              ………7分

         ∴                      ………8分 

         ∴設(shè)該廠x天購買一次配料平均每天支付的費用為f(x)元

                    …………11分

當(dāng)x≤7時

  當(dāng)且僅當(dāng)x=7時             

f(x)有最小值（元）

當(dāng)x＞7時

=≥393           

    當(dāng)且僅當(dāng)x=12時取等號

∵393<404

∴當(dāng)x=12時 f(x)有最小值393元                  ………16分

19．（1）∵直線過點，且與圓：相切，

設(shè)直線的方程為，即，　……………2分

則圓心到直線的距離為，解得，

∴直線的方程為，即．…………4分

（2）對于圓方程,令，得,即．又直線過點且與軸垂直，∴直線方程為，設(shè)，則直線方程為

解方程組,得同理可得,……… 10分

∴以為直徑的圓的方程為，

又，∴整理得，………… 12分

若圓經(jīng)過定點，只需令，從而有，解得，

∴圓總經(jīng)過定點坐標(biāo)為． ……………………… 14分

22．解：（Ⅰ），………………1分

又，

處的切線方程為

…………3分

（Ⅱ），

…………………………………………4分

令，

則上單調(diào)遞增，

上存在唯一零點，上存在唯一的極值點………6分

取區(qū)間作為起始區(qū)間，用二分法逐次計算如下

區(qū)間中點坐標(biāo)

中點對應(yīng)導(dǎo)數(shù)值

取區(qū)間

1

0.6

0.3

由上表可知區(qū)間的長度為0.3，所以該區(qū)間的中點，到區(qū)間端點距離小于0.2，因此可作為誤差不超過0.2的一個極值點的相應(yīng)x的值。

取得極值時，相應(yīng)………………………9分

（Ⅲ）由，

即，

，………………………………………12分

令

令

上單調(diào)遞增，

，

因此上單調(diào)遞增，

則，

的取值范圍是………………………………………16分

數(shù)學(xué)附加題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

21A．證明：連結(jié)AC．                        

因為EA切于A， 所以∠EAB＝∠ACB．

因為，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD．

于是∠EAB＝∠ACD． ……………………………………………4分

又四邊形ABCD內(nèi)接于，所以∠ABE＝∠D．

所以∽．

于是，即．

所以．              ……………………………10分

21B．解：設(shè)為曲線上的任意一點，在矩陣A變換下得到另一點，

則有，…………………………………4分

即   所以……………………………………………………8分

又因為點P在曲線上，所以，

故有  即所得曲線方程.………………………………………………… 10分

21C．解：將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為，

即，它表示以為圓心，2為半徑的圓，      ………………………………4分

直線方程的普通方程為，                          ………………………………6分

圓C的圓心到直線l的距離，……………………………………………………………………8分

故直線被曲線截得的線段長度為．   ……………………………………10分

21D．解：由柯西不等式，得  

．   ………………………………10分

22．以點為坐標(biāo)原點, 以分別為軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系, 不妨設(shè) 則

所以   

設(shè)平面的法向量為