取時(shí).u最大. 即安全負(fù)荷最大.三次函數(shù)最值問題一般可用三元均值不等式求解, 如果學(xué)過導(dǎo)數(shù)知識(shí), 其解法就更為方便, 省去了應(yīng)用均值不等式時(shí)配湊“定和 或“定積 的技巧性. 例7 已知甲.乙.丙三種食物的維生素A.B含量及成本如下表.若用甲.乙.丙三種食物各x千克.y千克.z千克配成100千克混合食物.并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B. 甲乙丙維生素A600700400維生素B800400500成本1194 (1)用x.y表示混合食物成本c元, (2)確定x.y.z的值.使成本最低. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

定義域?yàn)檎麛?shù)集N+的函數(shù)f(x)=[log2x],其中[log2x]表示數(shù)值不超過去時(shí)log2x的最大整數(shù).
(1)求f(3)的值;
(2)若f(x)=3,求x的取值集合;
(3)對(duì)于任意正整數(shù)n,求和:
C
f(1)
n
+
C
f(2)
n
+
C
f(3)
n
+…+
C
f(2n)
n

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求函數(shù)y=-cos2x+
3
cosx
+
5
4
的最大值及最小值,并寫出x取何值時(shí)函數(shù)有最大值和最小值.

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(2013•深圳一模)已知f(x)=x-
a
x
(a>0)
,g(x)=2lnx+bx,且直線y=2x-2與曲線y=g(x)相切.
(1)若對(duì)[1,+∞)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x,不等式f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=1時(shí),求最大的正整數(shù)k,使得對(duì)[e,3](e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))內(nèi)的任意k個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,…,xk都有f(x1)+f(x2)+…+f(xk-1)≤16g(xk)成立;
(3)求證:
n
i=1
4i
4i2-1
>ln(2n+1)(n∈N*)

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函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π)在一個(gè)周期內(nèi),當(dāng)x=
π
6
時(shí),y取最小值-3;當(dāng)x=
3
時(shí),y最大值3.
(I)求f(x)的解析式; 
(II)求f(x)在區(qū)間[
π
2
,π]
上的最值.

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為響應(yīng)國(guó)家擴(kuò)大內(nèi)需的政策,某廠家擬在2013年舉行促銷活動(dòng),經(jīng)調(diào)查測(cè)算,該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用t(t≥0)萬元滿足x=4-
k2t+1
(k為常數(shù)).如果不搞促銷活動(dòng),則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件.已知2013年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分).
(1)將該廠家2013年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為年促銷費(fèi)用t萬元的函數(shù);
(2)該廠家2013年的年促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)廠家利潤(rùn)最大?

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    例10  為促進(jìn)個(gè)人住房商品化的進(jìn)程,我國(guó)1999年元月公布了個(gè)人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下:

 

貸款期(年數(shù))

公積金貸款月利率(‰)

商業(yè)性貸款月利率(‰)

……

11

12

13

14

15

……

……

4.365

4.455

4.545

4.635

4.725

……

……

5.025

5.025

5.025

5.025

5.025

……


    汪先生家要購(gòu)買一套商品房,計(jì)劃貸款25萬元,其中公積金貸款10萬元,分十二年還清;商業(yè)貸款15萬元,分十五年還清.每種貸款分別按月等額還款,問:
    (1)汪先生家每月應(yīng)還款多少元?
    (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款,如果他想把余下的商業(yè)貸款也一次性還清;那么他家在這個(gè)月的還款總數(shù)是多少?
    (參考數(shù)據(jù):1.004455144=1.8966,1.005025144=2.0581,1.005025180=2.4651)


   講解  設(shè)月利率為r,每月還款數(shù)為a元,總貸款數(shù)為A元,還款期限為n月
  第1月末欠款數(shù) A(1+r)-a
  第2月末欠款數(shù) [A(1+r)-a](1+r)-a= A(1+r)2-a (1+r)-a
    第3月末欠款數(shù) [A(1+r)2-a (1+r)-a](1+r)-a
           =A(1+r)3-a (1+r)2-a(1+r)-a
  ……
  第n月末欠款數(shù) 
    得:                                  

  對(duì)于12年期的10萬元貸款,n=144,r=4.455‰
  ∴
  對(duì)于15年期的15萬元貸款,n=180,r=5.025‰
  ∴
  由此可知,先生家前12年每月還款942.37+1268.22=2210.59元,后3年每月還款1268.22元.
  (2)至12年末,先生家按計(jì)劃還款以后還欠商業(yè)貸款
   
  其中A=150000,a=1268.22,r=5.025‰  ∴X=41669.53
    再加上當(dāng)月的計(jì)劃還款數(shù)2210.59元,當(dāng)月共還款43880.12元.   

    需要提及的是,本題的計(jì)算如果不許用計(jì)算器,就要用到二項(xiàng)展開式進(jìn)行估算,這在2002年全國(guó)高考第(12)題中得到考查.

    例11  醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防,將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),經(jīng)檢測(cè),病毒細(xì)胞的增長(zhǎng)數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表. 已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過108的時(shí)候小白鼠將死亡.但注射某種藥物,將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%.

(1)為了使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過程中不死亡,第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物?(精確到天)

(2)第二次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物,才能維持小白鼠的生命?(精確到天)

    1. 天數(shù)t

      病毒細(xì)胞總數(shù)N

      1

      2

      3

      4

      5

      6

      7

      1

      2

      4

      8

      16

      32

      64

       

       

       

       

       

       

       

       

      講解 (1)由題意病毒細(xì)胞關(guān)于時(shí)間n的函數(shù)為, 則由

      兩邊取對(duì)數(shù)得    n27.5,

         即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.

      (2)由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為,

      再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為,

      由題意≤108,兩邊取對(duì)數(shù)得

      ,

           故再經(jīng)過6天必須注射藥物,即第二次應(yīng)在第33天注射藥物.

          本題反映的解題技巧是“兩邊取對(duì)數(shù)”,這對(duì)實(shí)施指數(shù)運(yùn)算是很有效的.

           例12 有一個(gè)受到污染的湖泊,其湖水的容積為V立方米,每天流出湖泊的水量都是r立方米,現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡,且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合,用g(t)表示某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù),我們稱為在時(shí)刻t時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù),已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水,湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)= +[g(0)- ]?e(p≥0),其中,g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).

      (1)當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí),求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù); 

      (2)求證:當(dāng)g(0)< 時(shí),湖泊的污染程度將越來越嚴(yán)重; 

      (3)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所有污染停止,那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%?

       講解(1)∵g(t)為常數(shù),  有g(shù)(0)-=0, ∴g(0)=   .                      

      (2) 我們易證得0<t1<t2, 則

      g(t1)-g(t2)=[g(0)- ]e-[g(0)- ]e=[g(0)- ][e-e]=[g(0)- ,

      ∵g(0)?<0,t1<t2,e>e,

      ∴g(t1)<g(t2)    .                                                      

      故湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時(shí)間變化而增加,污染越來越嚴(yán)重.                

      (3)污染停止即P=0,g(t)=g(0)?e,設(shè)經(jīng)過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?

      =e,∴t= ln20,

      故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%.

      高考應(yīng)用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型, 另外,估測(cè)計(jì)算型和信息遷移型也時(shí)有出現(xiàn).當(dāng)然,數(shù)學(xué)高考應(yīng)用性問題關(guān)注當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的政治,經(jīng)濟(jì),文化, 緊扣時(shí)代的主旋律,凸顯了學(xué)科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風(fēng)景線.

       


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