（理科做）
閱讀下面題目的解法，再根據(jù)要求解決后面的問題．
閱讀題目：對于任意實數(shù)a₁，a₂，b₁，b₂，證明不等式（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）．
證明：構造函數(shù)f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²=（a₁²+a₂²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂）x+（b₁²+b₂²）．
注意到f（x）≥0，所以△=[2（a₁b₁+a₂b₂）]²-4（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）≤0，
即（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）．
（其中等號成立當且僅當a₁x+b₁=a₂x+b₂=0，即a₁b₂=a₂b₁．）
問題：（1）請用這個不等式證明：對任意正實數(shù)a，b，x，y，不等式

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

成立．
（2）用（1）中的不等式求函數(shù)y=

2

x

+

9

1-2x

(0＜x＜

1

2

)的最小值，并指出此時x的值．
（3）根據(jù)閱讀題目的證明，將不等式（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）進行推廣，得到一個更一般的不等式，并用構造函數(shù)的方法對你的推廣進行證明．

（2008•普陀區(qū)二模）已知點E，F(xiàn)的坐標分別是（-2，0）、（2，0），直線EP，F(xiàn)P相交于點P，且它們的斜率之積為-

1

4

．
（1）求證：點P的軌跡在橢圓C：

x2

4

+y2=1上；
（2）設過原點O的直線AB交（1）題中的橢圓C于點A、B，定點M的坐標為(1，

1

2

)，試求△MAB面積的最大值，并求此時直線AB的斜率k_AB；
（3）某同學由（2）題結論為特例作推廣，得到如下猜想：
設點M（a，b）（ab≠0）為橢圓C：

x2

4

+y2=1內一點，過橢圓C中心的直線AB與橢圓分別交于A、B兩點．則當且僅當k_OM=-k_AB時，△MAB的面積取得最大值．
問：此猜想是否正確？若正確，試證明之；若不正確，請說明理由．

已知問題“設正數(shù)x，y滿足

1

x

+

2

y

=1，求x+y的最值”有如下解法；
設

1

x

=cos2α，

2

y

=sin2α，α∈(0，

π

2

)，
則x=sec²α=1+tan²α，y=2csc²α=2（1+cot²α），
所以，x+y=3+tan2α+2cot2α=3+tan2+

2

tan2α

≥3+2

2

，等號成立當且僅當tan2α=

2

tan2α

，即tan2α=

2

，此時x=1+

2

，y=2+

2

．
（1）參考上述解法，求函數(shù)y=

1-x

+2

x

的最大值．
（2）求函數(shù)y=2

x+1

-

x

(x≥0)的最小值．