已知橢圓

x2

25

+

y2

16

=1，過其左焦點F₁作一條直線交橢圓于A，B兩點，D（a，0）為F₁右側一點，連AD、BD分別交橢圓左準線于M，N．若以MN為直徑的圓恰好過F₁，求a的值．

中心在坐標原點、焦點在x軸上的橢圓，它的離心率為

3

2

，與直線x+y-1=0相交于M、N兩點，若以MN為直徑的圓經過坐標原點，求橢圓方程．

已知橢圓C₁的中心在原點，離心率為

4

5

，焦點在x軸上且長軸長為10．過雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)右焦點F₂作垂直于x軸的直線交雙曲線C₂于M、N兩點．
（I）求橢圓C₁的標準方程；
（II）若雙曲線C₂與橢圓C₁有公共的焦點，且以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的左頂點A，求雙曲線C₂的標準方程；
（III）若以MN為直徑的圓與雙曲線C₂的左支有交點，求雙曲線C₂的離心率的取值范圍．

（2006•海淀區(qū)二模）平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩定點A（1，0）、B（0，-1），動點P（x，y）滿足：

OP

=m

OA

+(m-1)

OB

(m∈R)．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）設點P的軌跡與雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交于相異兩點M、N．若以MN為直徑的圓經過原點，且雙曲線C的離心率等于

3

，求雙曲線C的方程．

如圖，點F是橢圓W：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點，A、B分別是橢圓的右頂點與上頂點，橢圓的離心率為

1

2

，三角形ABF的面積為

3 3

2

，
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）對于x軸上的點P（t，0），橢圓W上存在點Q，使得PQ⊥AQ，求實數t的取值范圍；
（Ⅲ）直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓W交于不同的兩點M、N （M、N異于橢圓的左右頂點），若以MN為直徑的圓過橢圓W的右頂點A，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．