Question

已知橢圓

x2

25

+

y2

16

=1，過其左焦點F₁作一條直線交橢圓于A，B兩點，D（a，0）為F₁右側一點，連AD、BD分別交橢圓左準線于M，N．若以MN為直徑的圓恰好過F₁，求a的值．

Answer 1

分析：由橢圓方程求出左焦點坐標，左準線方程，當直線AB的斜率存在時，設出斜率，寫出直線AB的方程，和橢圓方程聯立后利用根與系數的關系求出A，B兩點的橫縱坐標的積，然后再設出M，N的坐標，由M、A、D共線把M的坐標用A的坐標表示，由N、B、D共線把N的坐標用B的坐標表示，再由

F1M

•

F1N

=0求出M，N的縱坐標的乘積，把M，N的縱坐標的乘積轉化為A，B的坐標乘積后代入根與系數關系，最后得到等式求解a的值；當直線AB的斜率不存在時，直接求出A，B的坐標，分別寫出AD和BD的方程，求出M和N的坐標，利用

F1M

•

F1N

=0求解a得值．

解答：解：由橢圓

x2

25

+

y2

16

=1，得F₁（-3，0），左準線方程為x=-

25

3

．
當直線AB的斜率存在時，設AB方程為y=k（x+3），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x+3) x2 25 + y2 16 =1

，得（16+25k²）+150k²x+225k²-400=0．
x1+x2=-

150k2

16+25k2

，x1x2=

225k2-400

16+25k2

．
y1y2=k2(x1+3)(x2+3)=k2[x1x2+3(x1+x2)+9]
=k2[

225k2-400

16+25k2

-

450k2

16+25k2

+9]=-

256k2

16+25k2

．
設M(-

25

3

，y3)，N(-

25

3

，y4)．
由M、A、D共線，得y3=

(3a+25)y1

3(a-x1)

．
由N、B、D共線，得y4=

(3a+25)y2

3(a-x2)

．
又

F1M

=(-

16

3

，y3)，

F1N

=(-

16

3

，y4)．
由已知得

F1M

⊥

F1N

⇒

F1M

•

F1N

=0，得
y3y4=-

256

9

，而y3y4=

(3a+25)2y1y2

9(a-x1)(a-x2)

，即
-

256k2

16+25k2

•

(3a+25)2

9(a-x1)(a-x2)

=-

256

9

，整理得
（1+k²）（16a²-400）=0，解得a=±5，
又a＞-3，∴a=5．
當AB的斜率不存在時，求得A(-3，-

16

5

)，B(-3，

16

5

)．
AD方程為

y-0

- 16 5 -0

=

x-a

-3-a

，即y=

16

5

•

x-a

3+a

，
取x=-

25

3

，得y=-

16(25+3a)

15(3+a)

，∴M(-

25

3

，-

16(25+3a)

15(3+a)

)．
由對稱性可得N(-

25

3

，

16(25+3a)

15(3+a)

)．

F1M

=(-

16

3

，-

16(25+3a)

15(3+a)

)，

F1N

=(-

16

3

，

16(25+3a)

15(3+a)

)．
由

F1M

•

F1N

=0，得

256

9

=

256(25+3a)2

225(3+a)2

．
解得：a=-15或a=-

45

7

．
∵a＞-3，∴此時的a不合題意．
綜上，a的值為5．

點評：本題考查了橢圓的簡單性質，考查了直線和圓錐曲線的關系，考查了分類討論的數學思想方法，涉及直線和圓錐曲線的關系問題，需要大膽的設未知量，然后利用題目中的關系盡量采用設而不求或整體運算，需要學生有較強的計算能力，是該考試題中的壓軸題．