（2013•溫州一模）橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)長(zhǎng)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B，點(diǎn)P為橢圓M上除A、B外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若

QA

•

PA

=0且

QB

•

PB

=0，則動(dòng)點(diǎn)Q在下列哪種曲線上（　�。�

（2013•大連一模）設(shè)離心率e=

1

2

的橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是x軸正半軸上一點(diǎn)，以PF₁為直徑的圓經(jīng)過橢圓M短軸端點(diǎn)，且該圓和直線x+

3

y+3=0相切，過點(diǎn)P的直線與橢圓M相交于相異兩點(diǎn)A、C．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）若相異兩點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，直線BC交x軸與點(diǎn)Q，求

QA

•

QC

的取值范圍．

（2012•山東）如圖，橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8．
（Ⅰ）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=x+m（m∈R）與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P，Q，l與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn)S，T．求

|PQ|

|ST|

的最大值及取得最大值時(shí)m的值．

我們知道，判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別，那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎？請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面問題．
（1）設(shè)F₁、F₂是橢圓M：

x2

25

+

y2

9

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F₁、F₂到直線L：

2

x-y+

5

=0的距離分別為d₁、d₂，試求d₁•d₂的值，并判斷直線L與橢圓M的位置關(guān)系．
（2）設(shè)F₁、F₂是橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F₁、F₂到直線L：mx+ny+p=0（m、n不同時(shí)為0）的距離分別為d₁、d₂，且直線L與橢圓M相切，試求d₁•d₂的值．
（3）試寫出一個(gè)能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件，并證明．
（4）將（3）中得出的結(jié)論類比到其它曲線，請(qǐng)同學(xué)們給出自己研究的有關(guān)結(jié)論（不必證明）．