設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)M(

2

，1)，且左焦點(diǎn)為F1(-

2

，0)
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（4，1）的動(dòng)直線l與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A，B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，證明：點(diǎn)Q總在某定直線上．

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)M(

2

，1)，離心率為

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（4，1）的動(dòng)直線l與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A，B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

=λ，證明：點(diǎn)Q的軌跡與λ無(wú)關(guān)．

已知橢圓C₁：（a＞b＞0）的離心率為，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C₁的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（I）求橢圓C₁的方程；
（II）直線l₁過(guò)橢圓C₁的左焦點(diǎn)F₁，且與x軸垂直，動(dòng)直線l₂垂直于直線l₂，垂足為點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（III）設(shè)C₂上的兩個(gè)不同點(diǎn)R、S滿足，求的取值范圍（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

已知離心率為的橢圓C₁的頂點(diǎn)A₁，A₂恰好是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上不同于A₁，A₂的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA₁，PA₂的斜率分別為k₁，k₂．
（Ⅰ）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）試判斷k₁•k₂的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，圓C₂：x²+y²-2mx=0被直線PA₂截得弦長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)m的值．
設(shè)計(jì)意圖：考察直線上兩點(diǎn)的斜率公式、直線與圓相交、垂徑定理、雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)等知識(shí)，考察學(xué)生用待定系數(shù)法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運(yùn)算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改編自人教社選修2-1教材P39例3．