如圖,三棱錐中,側(cè)面底面, ,且,.(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)若為側(cè)棱PB的中點,求直線AE與底面所成角的正弦值.

【解析】第一問中，利用由知, ,

又AP=PC=2,所以AC=2,

又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,

又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,

平面ACP,所以第二問中結(jié)合取AC中點O,連接PO、OB,并取OB中點H,連接AH、EH,因為PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易證平面ABC,又EH//PO,所以EH平面ABC ,

則為直線AE與底面ABC 所成角,

解

 (Ⅰ) 證明:由用由知, ,

又AP=PC=2,所以AC=2,

又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,

又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,

平面ACP,所以

………………………………………………6分

(Ⅱ)如圖, 取AC中點O,連接PO、OB,并取OB中點H,連接AH、EH,

因為PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易證平面ABC,

又EH//PO,所以EH平面ABC ,

則為直線AE與底面ABC 所成角,

且………………………………………10分

又PO=1/2AC=,也所以有EH=1/2PO=,

由(Ⅰ)已證平面PBC,所以,即,

故,

于是

所以直線AE與底面ABC 所成角的正弦值為

 

如圖，在三棱錐D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E為BC的中點，F(xiàn)在棱AC上，且AF=3FC．
（1）求三棱錐D-ABC的表面積；
（2）求證AC⊥平面DEF；
（3）若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，使MN∥平面DEF？若存在，說明點N的位置；若不存在，試說明理由．

如圖ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，M、N分別是線段AD₁和BD上的中點
（Ⅰ）證明：直線MN∥平面B₁D₁C；
（Ⅱ）設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為a，若以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD₁所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，試寫出B₁、M兩點的坐標(biāo)，并求線段B₁M的長．