（文科做（1）（2）（4），理科全做）
已知過拋物線C₁：y²=2px（p＞0）焦點F的直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點 
（1）證明：y₁y₂=-p²且（y₁+y₂）²=2p（x₁+x₂-p）；
（2）點Q為線段AB的中點，求點Q的軌跡方程；
（3）若x₁=1，x₂=4，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓或雙曲線C₂過A、B兩點，求曲線C₁和C₂的方程；
（4）在（3）的條件下，若曲線C₂的兩焦點分別為F₁、F₂，線段AB上有兩點C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）（x₃＜x₄），滿足：①S△F1F2A-S△F1F2C=S△F1F2D-S△F1F2B，②AB=3CD．在線段F₁ F₂上是否存在一點P，使PD=

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，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（2012•石景山區(qū)一模）定義：若數(shù)列{A_n}滿足An+1=An2，則稱數(shù)列{A_n}為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，點（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=2x²+2x的圖象上，其中n為正整數(shù)．
（1）證明：數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列．
（2）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求數(shù)列{a_n}的通項及T_n關(guān)于n的表達(dá)式．
（3）記bn=log2an+1Tn，求數(shù)列{b_n}的前n項之和S_n，并求使S_n＞2011的n的最小值．

（理科）定義在R上的函數(shù)f(x)=

x+b

ax2+1

(a，b∈R，a≠0)是奇函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，f（x）取得最大值．
（1）求a、b的值；
（2）若方程f(x)+

mx

1+x

=0在區(qū)間(-1，1)上有且僅有兩個不同實根，求實數(shù)m的取值范圍．

某人玩硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是

1

2

．棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第m（m∈N，m≥100）站．一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋子向前跳一站；若擲出反面，則棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第m-1站（勝利大本營）或第m站（失敗大本營）時，該游戲結(jié)束．設(shè)棋子跳到第n站的概率為P_n．
（1）求P₀，P_l，P₂；
（2）寫出P_n與P_n-1，p_n-2的遞推關(guān)系；
（3）求證：玩該游戲獲勝的概率小于

2

3

．

（理科）在平面直角坐標(biāo)系中，F(xiàn)為拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點，M為拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過M，F(xiàn)，O三點的圓的圓心為Q，點Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為

3

4

．
（1）求拋物線C的方程；
（2）是否存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M？若存在，求出點M；若不存在，說明理由．
（3）若點M的橫坐標(biāo)為2，直線l：y=kx+

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與拋物線C有兩個不同的交點A、B，l與圓Q有兩個不同的交點D、E，用含k的式子表示 AB²+DE²．