已知f（x）=alnx-bx²圖象上一點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為y=-3x+2ln2+2．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）令g（x）=f（x）-kx（k∈R），如果g（x）圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為G（x₀，0），問(wèn)g（x）在x=x₀處是否取得極值．

（2012•盧灣區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=

x+1-t

t-x

（t為常數(shù)）．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，在圖中的直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f（x）的大致圖象，并指出該函數(shù)所具備的基本性質(zhì)中的兩個(gè)（只需寫兩個(gè)）．
（2）設(shè)a_n=f（n）（n∈N^*），當(dāng)t＞10，且t∉N^*時(shí)，試判斷數(shù)列{a_n}的單調(diào)性并由此寫出該數(shù)列中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)（可用[t]來(lái)表示不超過(guò)t的最大整數(shù)）．
（3）利用函數(shù)y=f（x）構(gòu)造一個(gè)數(shù)列{x_n}，方法如下：對(duì)于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*），…在上述構(gòu)造過(guò)程中，若x_i（i∈N^*）在定義域中，則構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程繼續(xù)下去；若x_i不在定義域中，則構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程停止．若取定義域中的任一值作為x₁，都可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{x_n}，求實(shí)數(shù)t的值．

（2013•茂名二模）已知函數(shù)f（x）=-x³+x²+bx，g（x）=alnx，（a＞0）．
（1）當(dāng)a=x時(shí)，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）當(dāng)b=0時(shí)，令F（x）=

f(x)，x＜1 g(x)，x≥1

．P（x₁，F(xiàn)（x₁）），Q（x₂，F(xiàn)（x₂））為曲線y=F（x）上的兩動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，能否使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上？請(qǐng)說(shuō)明理由．

設(shè) A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，向量

OA

，

OB

，

OC

滿足關(guān)系：

OA

+(y-

3

sinxcosx)

OB

-(

1

2

+sin2x)

OC

=

0

．
（Ⅰ）化簡(jiǎn)函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若函數(shù)g(x)=f(

1

2

x+

π

3

)，x∈[0，

7π

12

]的圖象與直線y=b的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，試求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅲ）令函數(shù)h（x）=

2

（sinx+cosx）+sin2x-a，若對(duì)任意的x1，x2∈[0，

π

2

]，不等式h（x₁）≤f（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

設(shè)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，令g（x）=f（x）-f（2010-x）
（1）求證g（x）+g（2010-x）時(shí)定值；
（2）判斷g（x）在R上的單調(diào)性，并證明；
（3）若g（x₁）+g（x₂）＞0，求證x₁+x₂＞2010．