電視劇《華羅庚》中有一個鏡頭：華羅庚少年時代用心算法解出了“孫子算經(jīng)”中的難題，原文是：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？學曰：二十三.”即一個正整數(shù)，被3，5，7除，余數(shù)分別為2，3，2.“孫子算經(jīng)”解法的口訣是：“三人同行七十稀，五樹梅花二十一，其子團圓正月豐，除百零五便得知.”

    這個算法又叫“韓信點兵”.相傳韓信才略過人，領兵打仗時，為了對敵方保密，從不點自己軍隊的人數(shù)，只是讓他的士兵以三人一排很快地從他面前過去，再以五人一排走一次，最后以七人一排走過去，由于隊伍走得很快，別人根本來不及數(shù)有多少人.然而韓信只對各隊士兵的最后一排掠一眼，就知道總數(shù)了，他利用的就是上面的這個口訣，你能理解這個口訣嗎？

    求解“孫子問題”的算法有很多，你能想出什么樣的算法？

   

電視劇《華羅庚》中有一個鏡頭：華羅庚少年時代用心算法解出了“孫子算經(jīng)”中的難題，原文是：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？學曰：二十三．”即一個正整數(shù)，被3，5，7除，余數(shù)分別為2，3，2．“孫子算經(jīng)”解法的口訣是：“三人同行七十稀，五樹梅花二十一，其子團圓正月豐，除百零五便得知．”

    這個算法又叫“韓信點兵”．相傳韓信才略過人，領兵打仗時，為了對敵方保密，從不點自己軍隊的人數(shù)，只是讓他的士兵以三人一排很快地從他面前過去，再以五人一排走一次，最后以七人一排走過去，由于隊伍走得很快，別人根本來不及數(shù)有多少人．然而韓信只對各隊士兵的最后一排掠一眼，就知道總數(shù)了，他利用的就是上面的這個口訣．

    畫出程序框圖，并編寫程序解決“韓信點兵”問題．

數(shù)列首項，前項和滿足等式（常數(shù)，……）

（1）求證：為等比數(shù)列；

（2）設數(shù)列的公比為，作數(shù)列使 （……），求數(shù)列的通項公式.

（3）設，求數(shù)列的前項和.

【解析】第一問利用由得

兩式相減得

故時，

從而又  即，而

從而  故

第二問中，     又故為等比數(shù)列，通項公式為

第三問中，

兩邊同乘以

利用錯位相減法得到和。

（1）由得

兩式相減得

故時，

從而   ………………3分

又  即，而

從而  故

對任意，為常數(shù)，即為等比數(shù)列………………5分

（2）    ……………………7分

又故為等比數(shù)列，通項公式為………………9分

（3）

兩邊同乘以

………………11分

兩式相減得

 

已知點（）,過點作拋物線的切線，切點分別為、（其中）．

（Ⅰ）若，求與的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若以點為圓心的圓與直線相切，求圓的方程；

（Ⅲ）若直線的方程是，且以點為圓心的圓與直線相切，

求圓面積的最小值．

【解析】本試題主要考查了拋物線的的方程以及性質(zhì)的運用。直線與圓的位置關系的運用。

中∵直線與曲線相切，且過點，∴，利用求根公式得到結論先求直線的方程，再利用點P到直線的距離為半徑，從而得到圓的方程。

（3）∵直線的方程是，，且以點為圓心的圓與直線相切∴點到直線的距離即為圓的半徑，即，借助于函數(shù)的性質(zhì)圓面積的最小值

（Ⅰ）由可得，．  ------1分

∵直線與曲線相切，且過點，∴，即，

∴，或， --------------------3分

同理可得：，或----------------4分

∵，∴，． -----------------5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，則的斜率，

∴直線的方程為：，又，

∴，即． -----------------7分

∵點到直線的距離即為圓的半徑，即，--------------8分

故圓的面積為． --------------------9分

（Ⅲ）∵直線的方程是，，且以點為圓心的圓與直線相切∴點到直線的距離即為圓的半徑，即，    ………10分

∴

，

當且僅當，即，時取等號．

故圓面積的最小值．