已知函數(shù)的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率是.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線(xiàn)上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？說(shuō)明理由.

【解析】第一問(wèn)當(dāng)時(shí)，，則。

依題意得：，即    解得

第二問(wèn)當(dāng)時(shí)，，令得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值

第三問(wèn)假設(shè)曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)P、Q滿(mǎn)足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；

若方程（*）無(wú)解，不存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當(dāng)時(shí)，，令得

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

		0
	—	0	+	0	—
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

又，，�！�在上的最大值為2.

②當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), ,最大值為0；

當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增�！�在最大值為。

綜上，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設(shè)曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)P、Q滿(mǎn)足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；

若方程（*）無(wú)解，不存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無(wú)解，因此。此時(shí)，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調(diào)遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對(duì)于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上

 

解析：依題意得f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù)．由f(x)在[3,5]上是增函數(shù)與f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)得，f(x)在[－3，－1]上是減函數(shù)．又函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù)，因此f(x)在[1,3]上是減函數(shù)，f(x)在[1,3]上的最大值是f(1)，最小值是f(3)．

答案：A

已知函數(shù)

（1）若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)P（3，4）點(diǎn)，求a的值；

（2）比較大小，并寫(xiě)出比較過(guò)程；

（3）若，求a的值.

【解析】本試題主要考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用。第一問(wèn)中，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)P（3，4）點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921574878204718/SYS201206192159225008161918_ST.files/image007.png">，所以.

（2）問(wèn)中，對(duì)底數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論，利用單調(diào)性求解得到。

（3）中，由知，.，指對(duì)數(shù)互化得到，，所以，解得所以， 或 .

解：⑴∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)∴，即.        … 2分

又，所以.             ………… 4分

⑵當(dāng)時(shí)，;

當(dāng)時(shí)，. ……………… 6分

因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921574878204718/SYS201206192159225008161918_ST.files/image021.png">，

當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，∵，∴.

即.當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，

∵，∴.即.      …………………… 8分

⑶由知，.所以，（或）.

∴.∴，       … 10分

∴ 或 ，所以， 或 .

 

水車(chē)問(wèn)題.

水車(chē)是一種利用水流的動(dòng)力進(jìn)行灌溉的工具，圖1-6-5是一個(gè)水車(chē)的示意圖，它的直徑為3 m，其中心(即圓心)O距水面1.2 m.如果水車(chē)每4 min逆時(shí)針轉(zhuǎn)3圈，在水車(chē)輪邊緣上取一點(diǎn)P，我們知道在水車(chē)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，P點(diǎn)距水面的高度h(m)是一個(gè)變量，顯然，它是時(shí)間t(s)的函數(shù).我們知道，h與t的函數(shù)關(guān)系反映了這個(gè)周期現(xiàn)象的規(guī)律.為了方便，不妨從P點(diǎn)位于水車(chē)與水面交點(diǎn)Q時(shí)開(kāi)始記時(shí)(t=0).

首先，設(shè)法用解析式表示出這個(gè)函數(shù)關(guān)系，并用“五點(diǎn)法”作出這個(gè)函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖.

圖1-6-5

其次，我們討論如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少時(shí)，所求得的函數(shù)解析式中的參數(shù)將發(fā)生哪些變化？若水車(chē)轉(zhuǎn)速加快或減慢，函數(shù)解析式中的參數(shù)又會(huì)受到怎樣的影響？