在直角坐標系中，有一點列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…對每一個正整數(shù)n，點P_n在給定的函數(shù)，y=log₃（2x）的圖象上，點P_n和點（（n-1，0）與點（n，0）構(gòu)成一個以P_n為頂點的等腰三角形．
（I） 求點P_n的縱坐標b_n的表達式；
（II） 記c_n=，n∈N₊．
①證明；
②是否存在實數(shù)k，使得對一切n∈N₊均成立，若存在，求出的最大值；若不存在，說明理由．

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在平面直角坐標系上，設不等式組

x＞0 y＞0 y≤-m(x-3)

（n∈N^*）
所表示的平面區(qū)域為D_n，記D_n內(nèi)的整點（即橫坐標和縱坐標均
為整數(shù)的點）的個數(shù)為a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃并猜想a_n的表達式再用數(shù)學歸納法加以證明；
（Ⅱ）設數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，數(shù)列{

1

Sn

}的前項和T_n，
是否存在自然數(shù)m？使得對一切n∈N^*，T_n＞m恒成立．若存在，
求出m的值，若不存在，請說明理由．

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一、選擇題1B   2C   3D   4B  5A  6C   7D   8A   9A   10B  11B   12 A

二、填空題13、   14、4    ；15、16、或

三、解答題

17．（10分）

解：（I）

當,即時, 取得最大值.

函數(shù)的取得最大值的自變量的集合為…………5分

 (II)由題意得:

即 又由因此函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.……10分

18.（12分）解：（I） ………………4分

       (II)ξ可取1，2，3，4.

    ，

    ； …………8分

    故ξ的分布列為

ξ

1

2

3

4

P

                            ……………………………………………………………10分

    ………………………12分

19.解：（Ⅰ）取BC中點F，連結(jié)AF，則CF＝AD，且CF∥AD，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，∴AF∥CD，

∴∠PAF（或其補角）為異面直線PA與CD所成的角　………………………  2分

∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF．

∵PB＝AB＝BF＝1，∴AB⊥BC，∴PA＝PF＝AF＝．　

∴△PAF是正三角形，∠PAF＝60°　

即異面直線PA與CD所成的角等于60°．………4分                                   

（Ⅱ）在Rt△PBD中，PB＝1，BD＝，∴PD＝

∵DE＝2PE，∴PE＝

則，∴△PBE∽△PDB，∴BE⊥PD．　……………………     5分

由（Ⅰ）知，CF＝BF＝DF，∴∠CDB＝90°．

∴CD⊥BD．又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD．

∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥BE　…………………………7分

∴BE⊥平面PCD．　………………………………………8分

（Ⅲ）連結(jié)AF，交BD于點O，則AO⊥BD．

∵PB⊥平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABD，∴AO⊥平面PBD．

過點O作OH⊥PD于點H，連結(jié)AH，則AH⊥PD．

∴∠AHO為二面角A－PD－B的平面角．　…………………………………     10分

在Rt△ABD中，AO＝．

在Rt△PAD中，AH＝．　

在Rt△AOH中，sin∠AHO＝．∴∠AHO＝60°．    

即二面角A－PD－B的大小為60°………………………………………12分

20.（12分）

解：……2分

令=0，得

（1）當

即<0或>4時有兩個不同的實根，，不妨設<

于是，從而有下表

x

x₁

+

0

－

0

+

↑

為極大值

↓

為極小值

↑

即此時有兩個極值點. ………6分

（2）當△=0即=0或=4時，方程有兩個相同的實根于是………                       8分

故當<時>0，當>時>0，因此無極值………10分

（3）當△<0即0<<4時

，故為增函數(shù)，此時無極值.

綜上，當無極值點

………  12分

21.解：（Ⅰ）設： ，，則，因為，所以的最小值為，，又，，故雙曲線的方程為.                                            -----------------4分

（Ⅱ）由可知，相應準線為，設過的直線為，

代入中，消去可得，????①

由題意知，設，則是方程①的兩個根，由韋達定理，得，將兩式相除，得

因，故直線的斜率為

???????????8分

所以，直線的方程為，將代入方程中，整理可得，所以直線恒過定點.    ???????12分                          

22. 解：（Ⅰ）由得 .當時，因為,,構(gòu)成以為頂點的等腰三角形,所以

       又因為在函數(shù)的圖像上，所以.()

  又點的坐標滿足前式，所以，

 （Ⅱ）因為，,所以

       設,則.①

       所以 ②

       由①和②得:.

       所以

   <3…………………8分

       （Ⅲ）由已知得對一切均成立.

       所以

       >1

       所以單調(diào)遞增.最小值為.

又因為對一切均成立.所以.………………   12分