在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC，AB⊥AC，M是CC₁的中點，Q是BC的中點，點P在A₁B₁上，則直線PQ與直線AM所成的角等于

EM是平行四邊形 …… 3分

平面PAB ……5分

（2）過Q做QF//PA  交AD于F

 QF⊥平面ABCD

作FH⊥AC  H為垂足

∠QHF是Q―AC―D的平面角……8分

設(shè)AF=x  則

FD=2－x

由

在Rt△QFH中，

……10分

∴Q為PD中點……12分

解法2

（1）如圖所示A（0，0，0）  B（1，0，0）C（1，1，0）D（0，2，0） p（0，0，1）

 M（0，1，……………………………………3分

是平面PAB的法向量  

    故MC//平面PAB…………5分

（2）設(shè)

設(shè)是平面QAC的法向量

由………………………………9分

又為平面ACD的法向量，于是

∴Q為PD的中點…………………………………………12分

20．經(jīng)分析可知第n行有3n－2個數(shù)，                  理科        文科

前n－１行有                    

第n行的第1個數(shù)是                   2分        4分

（1）第10行第10個數(shù)是127                      4分         7分

（2）表中第37行、38行的第1個數(shù)分別為1927，2036

所以2008是此表中的第37行

第2008－1927+1=82個數(shù)                         8分         14分

（3）不存在

第n行第1個數(shù)是

 第n+2行最后一個數(shù)是 

                     =

這3行共有  (3n－2)+[3(n+1)－2]+[3(n+2)－2]

          =9n+3  個數(shù)                                   10分

這3行沒有數(shù)之和

                          12分

此方程無正整數(shù)解．

21．（理科14分，文科12分）                                            理科 文科

（1）P（0，b）  M（a，0） 沒N（x，y） 由①

     由                  ②

將②代入①得曲線C的軌跡方程為 y² = 4x                              5分 6分

（2）點F′(－1，0)  ，設(shè)直線l：y = k (x+1) 代入y² = 4x

k²x²+2 (k²－2)x+k²=0

由                                             7分 8分

設(shè)A（x₁，y₁） B（x₂，y₂） D（x₀，y₀） 則

故直線DE方程為

令y=0 得   

即的取值范圍是（3，+∞）                                   10分 12分

（3）設(shè)點Q的坐標(biāo)為（－1，t），過點Q的切線為：y－t = k (x+1)

代入y² = 4x   消去 x整理得ky²－4y+4t+4k=0                            12分

△=16－16k (t+k)    令

兩切線l₁，l₂ 的斜率k₁，k₂是此方程的兩根

∴k₁?k₂=－1    故l₁⊥l₂                                          14分

22．文科：依題意                         2分

                                                 4分

          若f (x)在（－1，0）上是增函數(shù)，則在（－1，1）上

          ∵的圖象是開口向下的拋物線                            6分

∴ 且

解之得 t≥5                                                 12分

理科：

（1）

令或                                        2分

x        0      （0，）         （，1）    1

               ―         0        +

    －                  －4                －3

所以    是減函數(shù)

        是增函數(shù)                                   4分

故時的值域為[－4，－3]                              6分

（2）

∵a≥1 當(dāng)時

∴時  g (x)↓

  時  g (x)∈[g (1)，g (0)]=[1－2a－3a²，－2a]                8分

任給x₁∈[0，1]  f (x₁) ∈[－4，－3]

存在x₀∈[0，1]  使得  g (x₀) = f (x₁)

則：[1－2a－3a²，－2a]=[－4，－3]                                 10分

即 

又a≥1  故a的取值范圍為[1，]