已知橢圓：的左焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段相切于線段的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知兩點(diǎn)及橢圓:,過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn),設(shè)線段的中點(diǎn)為,連結(jié),試問當(dāng)為何值時(shí),直線過橢圓的頂點(diǎn)?

(Ⅲ) 過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓:于、兩點(diǎn)，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于，求證：

如圖，已知中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，過D作，垂足為E，連結(jié)OE。若，分別求AB，OE的長(zhǎng)。

(1)　　                   (2)

圖13

(1)當(dāng)點(diǎn)C為的中點(diǎn)時(shí)(如圖13(1)),求證:CF =EF;

(2)當(dāng)點(diǎn)C不是的中點(diǎn)時(shí)(如圖13(2)),試判斷CF與EF的相等關(guān)系是否保持不變,并證明你的結(jié)論.

設(shè),稱為的調(diào)和平均數(shù)，為的加權(quán)平均數(shù)。如圖，為線段上的點(diǎn)，記，為中點(diǎn)，以為直徑作半圓。過點(diǎn)作的垂線交半圓于，連結(jié)。作，垂足為,過點(diǎn)作的垂線交半圓于點(diǎn),連接。則圖中線段的長(zhǎng)度是的算術(shù)平均數(shù)，線段           的長(zhǎng)度是的調(diào)和平均數(shù)，線段         的長(zhǎng)度   是的加權(quán)平均數(shù)。

已知平面上一定點(diǎn)C（4，0）和一定直線為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作，垂足為Q，且.

   （1）問點(diǎn)P在什么曲線上？并求出該曲線的方程；

   （2）設(shè)直線與（1）中的曲線交于不同的兩點(diǎn)A、B，是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由.