已知橢圓：的左焦點，若橢圓上存在一點，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段相切于線段的中點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知兩點及橢圓:,過點作斜率為的直線交橢圓于兩點,設(shè)線段的中點為,連結(jié),試問當(dāng)為何值時,直線過橢圓的頂點?

(Ⅲ) 過坐標(biāo)原點的直線交橢圓:于、兩點，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連結(jié)并延長交橢圓于，求證：

如圖，已知中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作，垂足為E，連結(jié)OE。若，分別求AB，OE的長。

(1)　　                   (2)

圖13

(1)當(dāng)點C為的中點時(如圖13(1)),求證:CF =EF;

(2)當(dāng)點C不是的中點時(如圖13(2)),試判斷CF與EF的相等關(guān)系是否保持不變,并證明你的結(jié)論.

設(shè),稱為的調(diào)和平均數(shù)，為的加權(quán)平均數(shù)。如圖，為線段上的點，記，為中點，以為直徑作半圓。過點作的垂線交半圓于，連結(jié)。作，垂足為,過點作的垂線交半圓于點,連接。則圖中線段的長度是的算術(shù)平均數(shù)，線段           的長度是的調(diào)和平均數(shù)，線段         的長度   是的加權(quán)平均數(shù)。