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（本小題滿分12分）
如圖所示的幾何體是由以正三角形為底面的直棱柱
被平面所截而得． ，為的中點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值；
（Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，在棱上存在點(diǎn)，使平面？

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一、           選擇題：

1、答案：D

解：②表示垂直于同一平面的兩條直線互相平行；

③表示垂直于同一直線的兩個(gè)平面互相平行；

2、答案：D ；

解：，非P真；又真，所以選D；

3、答案：B ；

解：本題考查了正方體堆壘問(wèn)題及數(shù)列通項(xiàng)公式的求解.列出該數(shù)列的前幾項(xiàng),通過(guò)相鄰項(xiàng)間的關(guān)系可得出該數(shù)列的規(guī)律而得出一等差數(shù)列.

由圖示可得,該正方體的個(gè)數(shù)所組成的數(shù)列1,3,6,…, 其后一項(xiàng)減前一項(xiàng)得一數(shù)列2,3,4,…為一個(gè)等差數(shù)列.由此可得第6層的正方體的個(gè)數(shù)為1,3,6,10,15,21,… ,

故應(yīng)選B.

4、答案：D ；

解：的圖象向右平移單位后得到：，故選D；

5、答案：B ；

解：據(jù)題意可知集合A表示函數(shù)的定義域，，易化簡(jiǎn)得，由于BA，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)易知符合題意；當(dāng)時(shí)，，要使BA，結(jié)合數(shù)軸知需或（經(jīng)驗(yàn)證符合題意）或（經(jīng)驗(yàn)證不合題意舍去），解得，故綜上所述可知滿足條件的的取值范圍是，故答案為B；

6、答案：D ；

解：由圖象變換可以得到兩個(gè)圖象間的關(guān)系，函數(shù)是由函數(shù)的圖象向右平移一個(gè)單位得到，而是由函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)得到再向右平移一個(gè)單位得到，故兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。故選D

7、答案：B ；

解：兩直線平行,則其斜率相等,利用兩點(diǎn)間直線的斜率公式可以得兩字母間的關(guān)系,于是可得兩點(diǎn)間的距離.

由題意得

所以故應(yīng)選B.

8、答案：B ；

解：由于，故函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，根據(jù)已知0<a<b<c，則易將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為= ，故且其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。故應(yīng)選B.

9、答案：C ；

解：本題考查直線的斜率,由垂直關(guān)系得兩直線的斜率之積為,再由均值不等式轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化得出不等關(guān)系式，分類(lèi)討論得出的最小值.由題意,

∵兩直線互相垂直,

∴,即,

∴,則.

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

綜合得的最小值為. 故應(yīng)選C.

10、答案：C ；

解：由題意可知，存在，使，即，從函數(shù)定義出發(fā)，畫(huà)出映射幫助思考，從A到B再到C是由題意可得，如果繼續(xù)對(duì)C集合中的，應(yīng)用法則，則會(huì)得到，從B到C再到D的映射為，即存在，使，即函數(shù)過(guò)點(diǎn)，即方程有解，易知在實(shí)數(shù)集R上無(wú)解故選D。

二、           填空題：

11、答案：1 ；

解：根據(jù)集合中元素的確定性，我們不難得到兩集合的元素是相同的，這樣需要列方程組分類(lèi)討論，顯然復(fù)雜又煩瑣．這時(shí)若能發(fā)現(xiàn)0這個(gè)特殊元素，和中的a不為0的隱含信息，就能得到如下解法.由已知得＝0，及a≠0，所以b＝0，于是a²＝1，即a＝1或a＝－1，又根據(jù)集合中元素的互異性a＝1應(yīng)舍去，因而a＝－1，故a²⁰⁰⁸＋b²⁰⁰⁸＝(-1) ²⁰⁰⁸＝1．

12、答案：120度；

解：依題意可知：A、O、B、C構(gòu)成平形四邊形，，故的內(nèi)角C為120度；

13、答案：；

解：

.

14、答案： ；

解：，設(shè)，依題意可知：，又P在曲線上，故，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ；

15、答案：49 ；

解：本題考查用取特殊值法進(jìn)行驗(yàn)證.由題意分析,

不妨設(shè)各個(gè)格中的數(shù)都為1, 則符合題意要求,所以表中所有數(shù)字之和為49.

三、            解答題：

16、 解:（１）因?yàn)?sub>              

，   

所以．          

（２）由即，

亦即．

故，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)．

又．

故當(dāng)時(shí)有有最大值．  

17、 解:(Ⅰ)從九個(gè)小球中任取三個(gè)共有種取法，它們是等可能的.設(shè)恰好有一球編號(hào)是3的倍數(shù)的事件為A，

則.

(Ⅱ)設(shè)至少有一球編號(hào)是3的倍數(shù)的事件為B，

則 .

（Ⅲ）設(shè)三個(gè)小球編號(hào)之和是3的倍數(shù)的事件為C，設(shè)集合, ,則取出三個(gè)小球編號(hào)之和為3的倍數(shù)的取法共有種，則.

18、解：設(shè)橢圓方程為

（Ⅰ）易得所求橢圓方程為.

（Ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為

由，消去y得關(guān)于x的方程：

由直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，解得

又由韋達(dá)定理得原點(diǎn)到直線的距離.

對(duì)兩邊平方整理得：（*）∵，

整理得： 又，      從而的最大值為，此時(shí)代入方程（*）得  

所以，所求直線方程為：.

19、（Ⅰ）解：（1）3－k²>1－k>0k∈（－1，1），方程所表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；

（2） 1－k>3－k²>0k∈（－，－1），方程所表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；

（3）1－k=3－k²>0k=－1，表示的是一個(gè)圓；

（4）（1－k）（3－k²）<0k∈（－∞，－）∪（1，），表示的是雙曲線；

（5）k=1，k=－，表示的是兩條平行直線；k=，表示的圖形不存在.

（Ⅱ）解：依題意，設(shè)雙曲線的方程為－=1（a>0，b>0）.∵e==，c²=a²+b²，∴a²=4b².

設(shè)M（x，y）為雙曲線上任一點(diǎn)，則|PM|²=x²+（y－5）²=b²（－1）+（y－5）²=（y－4）²+5－b²（|y|≥2b）.

①若4≥2b，則當(dāng)y=4時(shí)，|PM|_min²=5－b²=4，得b²=1，a²=4.從而所求雙曲線方程為－x²=1.

②若4<2b，則當(dāng)y=2b時(shí)，|PM|_min²=4b²－20b+25=4，得b=（舍去b=），b²=，a²=49.

從而所求雙曲線方程為－=1.

20、解：如圖，連結(jié)，由為中點(diǎn)，則從而.故AM和所成的角為所成的角，易證≌。所以，故所成的角為。又設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，則又從而CN與AM所成的角就是（或其補(bǔ)角）。易求得在中，由余弦定理得，故所成的角為。

21、解  （1）當(dāng)a=1,b=?2時(shí)，f(x)=x²?x?3，

由題意可知x=x²?x?3，得x₁=?1,x₂=3 

故當(dāng)a=1,b=?2時(shí)，f(x)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為?1,3 

（2）∵f(x)=ax²+(b+1)x+(b?1)(a≠0)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，

∴x=ax²+(b+1)x+(b?1)，

即ax²+bx+(b?1)=0恒有兩相異實(shí)根

∴Δ=b²?4ab+4a＞0(b∈R)恒成立 

于是Δ′=(4a)²?16a＜0解得0＜a＜1

故當(dāng)b∈R，f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，0＜a＜1 

（3）由題意A、B兩點(diǎn)應(yīng)在直線y=x上，設(shè)A(x₁,x₁),B(x₂,x₂)

又∵A、B關(guān)于y=kx+對(duì)稱(chēng) 

∴k=?1  設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x′,y′)

∵x₁,x₂是方程ax²+bx+(b?1)=0的兩個(gè)根 

∴x′=y′=，

又點(diǎn)M在直線上有，

即

∵a＞0，∴2a+≥2當(dāng)且僅當(dāng)2a=即a=∈(0,1)時(shí)取等號(hào)，

故b≥?，得b的最小值? 

作者：     湖南省衡陽(yáng)市祁東縣育賢中學(xué)  高明生  彭鐵軍

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