已知函數(shù)f(x)=

a2-x2

x-2a

（a＞0）
（1）證明：f（x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．
（2）求f（x）的值域．
（3）若對(duì)于f（x）定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x₁，都能構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{x_n}，
使其滿足條件x_n+1=f（x_n）（n∈N^*），求a的取值范圍．

（2006•石景山區(qū)一模）已知函數(shù)y=f（x）對(duì)于任意θ≠

kπ

2

（k∈Z），都有式子f（a-tanθ）=cotθ-1成立（其中a為常數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用函數(shù)y=f（x）構(gòu)造一個(gè)數(shù)列，方法如下：
對(duì)于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述構(gòu)造過(guò)程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程繼續(xù)下去；如果x_i不在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程就停止．
（ⅰ）如果可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列，求a的取值范圍；
（ⅱ）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得取定義域中的任一值作為x₁，都可用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{x_n}？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，若x₁=-1，求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式．

（2011•浦東新區(qū)三模）某同學(xué)將命題“在等差數(shù)列{a_n}中，若p+m=2n，則有a_p+a_m=2a_n（p，m，n∈N^*）”改寫成：“在等差數(shù)列{a_n}中，若1×p+1×m=2×n，則有1×a_p+1×a_m=2×a_n（p，m，n∈N^*）”，進(jìn)而猜想：“在等差數(shù)列{a_n}中，若2p+3m=5n，則有2a_p+3a_m=5a_n（p，m，n∈N^*）．”
（1）請(qǐng)你判斷以上同學(xué)的猜想是否正確，并說(shuō)明理由；
（2）請(qǐng)你提出一個(gè)更一般的命題，使得上面這位同學(xué)猜想的命題是你所提出命題的特例，并給予證明．
（3）請(qǐng)類比（2）中所提出的命題，對(duì)于等比數(shù)列{b_n}，請(qǐng)你寫出相應(yīng)的命題，并給予證明．

已知數(shù)列{a_n}，S_n為其前n項(xiàng)的和，S_n=n-a_n+9，n∈N^*
（1）證明數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；
（2）令b_n=a_n-1，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n；
（3）已知用數(shù)列{b_n}可以構(gòu)造新數(shù)列．例如：{3b_n}，{2b_n+1}，{

b

2 n

}，{

1

bn

}{2bn}，{sinb_n}…，請(qǐng)寫出用數(shù)列{b_n}構(gòu)造出的新數(shù)列{p_n}的通項(xiàng)公式，滿足數(shù)列{p_n}是等差數(shù)列．

（2013•汕尾二模）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知an+1=2Sn+2(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在a_n與a_n+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成公差為d_n的等差數(shù)列（如：在a₁與a₂之間插入1個(gè)數(shù)構(gòu)成第一個(gè)等差數(shù)列，其公差為d₁；在a₂與a₃之間插入2個(gè)數(shù)構(gòu)成第二個(gè)等差數(shù)列，其公差為d₂，…以此類推），設(shè)第n個(gè)等差數(shù)列的和是A_n．是否存在一個(gè)關(guān)于n的多項(xiàng)式g（n），使得A_n=g（n）d_n對(duì)任意n∈N^*恒成立？若存在，求出這個(gè)多項(xiàng)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，這個(gè)數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)d_m，d_k，d_p（其中正整數(shù)m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由．