＝S四邊形ABCD-(S四邊形ABCD-S△DBC)-(S四邊形ABCD-S△ABC) 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

提出問題：如圖①，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什么關系？

探究發(fā)現(xiàn)：為了解決這個問題，我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手：

（1）當AP＝AD時（如圖②）：

∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S△ABP＝S△ABD ．

∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，

∴S△CDP＝S△CDA ．

∴S△PBC ＝S四邊形ABCD－S△ABP－S△CDP

＝S四邊形ABCD－S△ABD－S△CDA

＝S四邊形ABCD－(S四邊形ABCD－S△DBC)－(S四邊形ABCD－S△ABC)

＝S△DBC＋S△ABC ．

（2）當AP＝AD時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，寫出求解過程；

（3）當AP＝AD時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：________________；

（4）一般地，當AP＝AD（n表示正整數(shù)）時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，寫出求解過程；

問題解決：當AP＝AD（0≤≤1）時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：___________．

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提出問題：如圖①，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什么關系？

探究發(fā)現(xiàn)：為了解決這個問題，我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手：

(1）當AP＝AD時（如圖②）：

　　　　　　　

∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S△ABP＝S△ABD ．

∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，

∴S△CDP＝S△CDA ．

∴S△PBC ＝S四邊形ABCD－S△ABP－S△CDP

＝S四邊形ABCD－S△ABD－S△CDA

＝S四邊形ABCD－(S四邊形ABCD－S△DBC)－(S四邊形ABCD－S△ABC)

＝S△DBC＋S△ABC ．

(2）當AP＝AD時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，寫出求解過程；

(3）當AP＝AD時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：________________；

(4）一般地，當AP＝AD（n表示正整數(shù)）時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，寫出求解過程；

問題解決：當AP＝AD（0≤≤1）時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：___________．

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提出問題：如圖，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什么關系？

探究發(fā)現(xiàn)：為了解決這個問題，我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手：

(1)當AP＝AD時(如圖)：

∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S△ABP＝S△ABD．

∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，

∴S△CDP＝S△CDA．

∴S△PBC＝S四邊形ABCD－S△ABP－S△CDP

＝S四邊形ABCD－S△ABD－S△CDA

＝S四邊形ABCD－(S四邊形ABCD－S△DBC)－(S四邊形ABCD－S△ABC)

＝S△DBC＋S△ABC．

(2)當時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，寫出求解過程；

(3)當時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：________；

(4)一般地，當(n表示正整數(shù))時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，寫出求解過程；

問題解決：當時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：________．

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提出問題：如圖①，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什么關系？

探究發(fā)現(xiàn)：為了解決這個問題，我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手：

(1)當AP＝AD時(如圖②)：

∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S△ABP＝S△ABD．

∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，

∴S△CDP＝S△CDA．

∴S△PBC＝S四邊形ABCD－S△ABP－S△CDP

＝S四邊形ABCD－S△ABD－S△CDA

＝S四邊形ABCD－(S四邊形ABCD－S△DBC)－(S四邊形ABCD－S△ABC)

＝S△DBC＋S△ABC．

(2)當AP＝AD時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，寫出求解過程；

(3)當AP＝AD時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：________；

(4)一般地，當AP＝AD(n表示正整數(shù))時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，寫出求解過程；

問題解決：當AP＝AD(0≤≤1)時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：________．

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課本拓展
舊知新意：
我們容易證明，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關系呢？
1.嘗試探究：
(1)如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，試探究∠A與∠DBC＋∠ECB之間存在怎樣的數(shù)量關系？為什么？

2.初步應用：
(2) 如圖2，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1＝130°，
則∠2－∠C＝_______________；

(3) 小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個問題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關系？請利用上面的結論直接寫出答案_                  _．

3.拓展提升：
(4) 如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，∠P與∠A、∠D有何數(shù)量關系？為什么？(若需要利用上面的結論說明，可直接使用，不需說明理由．)

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說明：

1．如果考生的解法與本解法不同，可參照本評分標準制定相應評分細則．

2．當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤，影響了后繼部分時，如果這一步以后的解答未改變這道題的內容和難度，可視影響程度決定后面部分的給分，但不得超過后面部分應給分數(shù)的一半；如果這一步以后的解答有較嚴重的錯誤，就不給分．

3．為閱卷方便，本解答中的推算步驟寫得較為詳細，但允許考生在解答過程中，合理省略非關鍵性的推算步驟．

4．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)．

一、選擇題（本題滿分21分，共有7道小題，每小題3分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

答案

D

B

A

C

D

A

C

二、填空題（本題滿分21分，共有7道小題，每小題3分）

題號

8

9

10

11

答案

1

甲

題號

12

13

14

答案

16

（8，3）

4

32

 

三、作圖題（本題滿分6分）

15．⑴ 正確作出圖形，并做答．                     …………………………3′

⑵ 132 ．                                     …………………………6′

四、解答題（本題滿分72分，共有9道小題）

16．（本小題滿分6分）

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      ①
      ②
      ①×3，得 6x＋3y＝15．   ③
      ②＋③，得　7x＝21，
      　x＝3．                       …………………………3′
      把x＝3代入①，得2×3＋y＝5，
                        
y＝－1．
      ∴原方程組的解是                 ………………………………6′
      17．（本小題滿分6分）
      解：⑴ 正確補全頻數(shù)分布直方圖；  
         ………………………………2′
      ⑵ 樣本的中位數(shù)在155~160cm的范圍內； ………………………………4′
      ⑶ 八年級．                            ………………………………6′
      18．（本小題滿分6分）
      解：⑴  （元）；  …………………………4′
      ⑵  ∵11.875元＞10元，   
            
 ∴選擇轉轉盤．            
          ……………………………6′
      （如果學生選擇直接獲得購物券，只要回答合理即可同樣得分）
      19．（本小題滿分6分）
      解：過C作AB的垂線，交直線AB于點D，得到Rt△ACD與Rt△BCD．
      設BD＝x海里，
      在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，
      ∴CD＝x ?tan63.5°．
      在Rt△ACD中，AD＝AB＋BD＝(60＋x)海里，tan∠A＝，
      ∴CD＝( 60＋x ) ?tan21.3°．            
    ……………………………4′
      ∴x?tan63.5°＝(60＋x)?tan21.3°，即 ．
      解得，x＝15．
      答：輪船繼續(xù)向東航行15海里，距離小島C最近． …………………………6′
      20．（本小題滿分8分）
      解：⑴ 設生產(chǎn)A種飲料x瓶，根據(jù)題意得： 
       
       
       
      解這個不等式組，得20≤x≤40． 
      因為其中正整數(shù)解共有21個，
      所以符合題意的生產(chǎn)方案有21種．      
……………………………4′
      ⑵ 根據(jù)題意，得　y＝2.6x＋2.8(100－x)．
      　整理，得　y＝－0.2x＋280．       ……………………………6′
      ∵k＝－0.2＜0，
      ∴y隨x的增大而減�。�
      ∴當x＝40時成本總額最低．                …………………………8′
      21．（本小題滿分8分)
      證明：⑴ 由折疊可知：∠D＝∠D′，CD＝AD′，∠C＝∠D′AE．
      ∵四邊形ABCD是平行四邊形，
      ∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠C＝∠BAD．………2′
      ∴∠B＝∠D′，AB＝AD′，
      ∠D′AE＝∠BAD，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3．
      ∴∠1＝∠3．
      ∴△ABE ≌△A D′F．   ……………4′
      ⑵ 四邊形AECF是菱形．
      由折疊可知：AE＝EC，∠4＝∠5．
      ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．
      ∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE．             
   
      ∵AE＝EC，  ∴AF＝EC．
      又∵AF∥EC，                 

      ∴四邊形AECF是平行四邊形．
      ∵AF＝AE，
      ∴四邊形AECF是菱形．             
   ……………………………8′
      22．（本小題滿分10分）
      解：⑴ y＝(x－50)∙ w
      ＝(x－50) ∙ (－2x＋240)
      ＝－2x2＋340x－12000，
      ∴y與x的關系式為：y＝－2x2＋340x－12000．   ……………………3′
      ⑵ y＝－2x2＋340x－12000
      ＝－2 (x－85) 2＋2450，
      ∴當x＝85時，y的值最大．        
        ………………………6′
      ⑶ 當y＝2250時，可得方程　－2 (x－85 )2 ＋2450＝2250．
      解這個方程，得  x1＝75，x2＝95．            ………………………8′
      根據(jù)題意，x2＝95不合題意應舍去．
      ∴當銷售單價為75元時，可獲得銷售利潤2250元． …………………10′　　　　　　　　　　　　　　　　
      23．（本小題滿分10分）
      解：⑵ ∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
      ∴S△ABP＝S△ABD ．
      又∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
      ∴S△CDP＝S△CDA ．
      ∴S△PBC ＝S四邊形ABCD－S△ABP－S△CDP
      ＝S四邊形ABCD－S△ABD－S△CDA
      ＝S四邊形ABCD－(S四邊形ABCD－S△DBC)－(S四邊形ABCD－S△ABC)
      ＝S△DBC＋S△ABC ．
      ∴S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ．         
              ……………………………4′
      ⑶ S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ；             
……………………………5′
      ⑷ S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ；
      ∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
      ∴S△ABP＝S△ABD ．
      又∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
      ∴S△CDP＝S△CDA ．
      ∴S△PBC ＝S四邊形ABCD－S△ABP－S△CDP
      ＝S四邊形ABCD－S△ABD－S△CDA
      ＝S四邊形ABCD－(S四邊形ABCD－S△DBC)－(S四邊形ABCD－S△ABC)
      ＝S△DBC＋S△ABC ．
      ∴S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ．             ……………………………8′
      問題解決： S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ．      ……………………………10′
      24．（本小題滿分12分）
      解：⑴ 根據(jù)題意：AP＝t cm，BQ＝t cm．
      △ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
      ∴BP＝(3－t ) cm．
      △PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t， 
      若△PBQ是直角三角形，則∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．
      當∠BQP＝90°時，BQ＝BP．
      即t＝(3－t )，
      t＝1 (秒)．
           
當∠BPQ＝90°時，BP＝BQ．
      3－t＝t，
      t＝2 (秒)．
      答：當t＝1秒或t＝2秒時，△PBQ是直角三角形．   …………………4′
      ⑵ 過P作PM⊥BC于M ．
      Rt△BPM中，sin∠B＝，
      ∴PM＝PB?sin∠B＝(3－t )．
      ∴S△PBQ＝BQ?PM＝? t ?(3－t )．
      ∴y＝S△ABC－S△PBQ 
      ＝×32×－? t ?(3－t )
             ＝．  
      ∴y與t的關系式為： y＝．   …………………6′
      假設存在某一時刻t，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的，
      則S四邊形APQC＝S△ABC ．
      ∴＝××32×．
      ∴t 2－3 t＋3＝0．
      ∵(－3) 2－4×1×3＜0，
      ∴方程無解．
      ∴無論t取何值，四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的．……8′
      ⑶ 在Rt△PQM中，
      MQ＝＝．
      MQ 2＋PM 2＝PQ 2．
      ∴x2＝[(1－t ) ]2＋[(3－t ) ]2

      ＝
              ＝＝3t2－9t＋9．        
……………………………10′
      ∴t2－3t＝．
      ∵y＝，
      ∴y＝＝＝．                  

      ∴y與x的關系式為：y＝．       ……………………………12′
       
      		
      
	
	
      
		
      


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