如圖，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，A A₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分別是CC₁，BC的中點，點P在直線A₁B₁上，且

（1）證明：無論入取何值，總有AM⊥PN；

（2）當(dāng)入取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？

并求該角取最大值時的正切值。

（3）是否存在點P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面

角為30º，若存在，試確定點P的位置，若不存在，請說明理由。

如圖，設(shè)平面AC和BD相交于BC，它們所成的一個二面角為45°，P為平面AC內(nèi)的一點，Q為面BD內(nèi)的一點，已知直線MQ是直線PQ在平面BD內(nèi)的射影，并且M在BC上又設(shè)PQ與平面BD所成的角為β，∠CMQ=θ（0°＜θ＜90°），線段PM的長為a，求線段PQ的長．

已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠ABC=120°，又PC⊥平面ABCD，PC=a，E是PA的中點．
（1）求證：平面EBD⊥平面ABCD；
（2）求直線PB與直線DE所成的角的余弦值；
（3）設(shè)二面角A-BE-D的平面角為θ，求cosθ的值．