題目列表(包括答案和解析)
(08年昆明市適應考試)(12分)設點,動圓
經(jīng)過點
且和直線
:
相切. 記動圓的圓心
的軌跡為曲線
.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)設點為直線
上的動點,過點
作曲線
的切線
(
為切點),
證明:直線必過定點并指出定點坐標.
(09年萊西一中模擬文)(12分)
設點,動圓
經(jīng)過點
且和直線
:
相切,記動圓的圓心
的軌跡為曲線
.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)設點為直線
上的動點,過點
作曲線
的切線
(
為切點),
證明:直線 必過定點并指出定點坐標.
[選做題]本題包括A、B、C、D四小題,請選定其中兩題,并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答。若多做,則按作答的前兩題評分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
A. 選修4-1:幾何證明選講
AB是圓O的直徑,D為圓O上一點,過D作圓O的切線交AB延長線于點C,若DA=DC,求證:AB=2BC。
B. 選修4-2:矩陣與變換
在平面直角坐標系xOy中,已知點A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。設k為非零實數(shù),矩陣M=,N=
,點A、B、C在矩陣MN對應的變換下得到點分別為A1、B1、C1,△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍,求k的值。
C. 選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中,已知圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求實數(shù)a的值。
D. 選修4-5:不等式選講
設a、b是非負實數(shù),求證:。
[必做題]第22題、第23題,每題10分,共計20分。請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
選答題(本小題滿分10分)(請考生在第22、23、24三道題中任選一題做答,并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑。注意所做題號必須與所涂題目的題號一致,并在答題卡指定區(qū)域答題。如果多做,則按所做的第一題計分。)
22.選修4-1:幾何證明選講
如圖,已知是⊙
的切線,
為切點,
是⊙
的割線,與⊙
交于
兩點,圓心
在
的內(nèi)部,點
是
的中點。
(1)證明四點共圓;
(2)求的大小。
23.選修4—4:坐標系與參數(shù)方程[來源:ZXXK]
已知直線經(jīng)過點
,傾斜角
。
(1)寫出直線的參數(shù)方程;
(2)設與曲線
相交于兩點
,求點
到
兩點的距離之積。
24.選修4—5:不等式證明選講
若不等式與不等式
同解,而
的解集為空集,求實數(shù)
的取值范圍。
一、選擇題(每小題5分,共60分)
1.D 2.A 3.D 4.D 5.A 6.C 7.B 8.B 9.C 10.A 11.C 12.B
二、填空題(每小題5分,共20分)
13.2 14. 15.
16.③④
三、解答題(共70分)
17.(本小題滿分10分)
解:(Ⅰ)由 可得:
又
.
--------------------------------5分
(Ⅱ),
.
---------------------------------10分
18.(本小題滿分12分)
解: 設A隊得分為2分的事件為,
(Ⅰ)∴.
------------------4分
(Ⅱ)設A隊得分不少于2分的事件為M , B隊得分不多于2分的事件為N,
由(Ⅰ)得A隊得分為2分的事件為, A隊得分為3分的事件為
,
B隊得分為3分的事件為,
∴
- ----------------- 9分
.
------------------ 12分
19.(本小題滿分12分)
解法一、
(Ⅰ)連結交
于點O,
∵平面
,平面
∩平面
∴
又∵
是
的中點
∴ 是
的中點.
------------------6分
(Ⅱ)作 ,垂足為
,連結
面
平面
∴是
在平面
上的射影
∴
∴是二面角
的平面角
∵,
在直角三角形中,
,
二面角
的大小為
. ------------------12分
解法二、
(Ⅰ)建立如圖所示空間坐標系
則,
平面的法向量為
由
得
,
平面
,
.
所以點是棱
的中點.
(Ⅱ)平面的法向量
,設平面
的法向量為
. 則
二面角
的大小為
.
20.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由得:
,所以等差數(shù)列
的通項公式為
. ------------------------4分
(Ⅱ)由得:
從而
故數(shù)列是單調(diào)遞增的數(shù)列,又因
是
中的最小項,要使
恒成立,
則只需 成立即可,由此解得
,由于
∈
,
故適合條件的的最大值為1. ------------------------12分
21.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ),
是奇函數(shù),其圖象關于原點對稱,
所以函數(shù)圖象的對稱中心即為
.
-----------------2分
,其圖象頂點坐標為
所以函數(shù)圖象的對稱中心與導函數(shù)
圖象的頂點橫坐標相同. -----------------4分
(Ⅱ)令得
.
當變化時,
變化情況如下表:
0
0
極大值
極小值
時,
有極大值2,
,曲線
在點
處的切線的斜率
.
直線的方程為
-----------------6分
曲線在點
處的切線的斜率
.
直線的方程為
又曲線在點
處的切線的斜率
.
直線的方程為
.
聯(lián)立直線的方程與直線
的方程,
,解得
,
.-----------------10分
聯(lián)立直線
的方程與直線
的方程,
,解得
,
.
,
所以. -----------------12分
圖象如右:
22.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)過點作
垂直直線
于點
依題意得:,
所以動點的軌跡為是以
為焦點,直線
為準線的拋物線,
即曲線的方程是
---------------------4分
(Ⅱ)解法一:設、
、
,則
由知,
, ∴
,
又∵切線AQ的方程為:,注意到
切線AQ的方程可化為:,
由在切線AQ上, ∴
所以點在直線
上;
同理,由切線BQ的方程可得:.
所以點在直線
上;
可知,直線AB的方程為:,
即直線AB的方程為:,
∴直線AB必過定點.
------------------------12分
(Ⅱ)解法二:設,切點的坐標為
,則
由知,
,得切線方程:
.
即為:,又∵
在切線上,
所以可得:,解之得:
.
所以切點,
∴.
故直線AB的方程為:
化簡得:
即直線AB的方程為:
∴直線AB必過定點.
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