14.6.依題意得顯然函數(shù)的最大值為6. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

(Ⅰ)求實數(shù)的值; 

(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;

(Ⅲ)對任意給定的正實數(shù),曲線上是否存在兩點P、Q,使得是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?說明理由.

【解析】第一問當時,,則。

依題意得:,即    解得

第二問當時,,令,結合導數(shù)和函數(shù)之間的關系得到單調性的判定,得到極值和最值

第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設,則,顯然

是以O為直角頂點的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;

若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

(Ⅰ)當時,,則。

依題意得:,即    解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

①當時,,令

變化時,的變化情況如下表:

0

0

+

0

單調遞減

極小值

單調遞增

極大值

單調遞減

,,!上的最大值為2.

②當時, .當時, ,最大值為0;

時, 上單調遞增!最大值為

綜上,當時,即時,在區(qū)間上的最大值為2;

時,即時,在區(qū)間上的最大值為。

(Ⅲ)假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設,則,顯然

是以O為直角頂點的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;

若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

,則代入(*)式得:

,而此方程無解,因此。此時

代入(*)式得:    即   (**)

 ,則

上單調遞增,  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。

因此,對任意給定的正實數(shù),曲線上存在兩點P、Q,使得是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上

 

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設函數(shù)f(x)=在[1,+∞上為增函數(shù).  

(1)求正實數(shù)a的取值范圍;

(2)比較的大小,說明理由;

(3)求證:(n∈N*, n≥2)

【解析】第一問中,利用

解:(1)由已知:,依題意得:≥0對x∈[1,+∞恒成立

∴ax-1≥0對x∈[1,+∞恒成立    ∴a-1≥0即:a≥1

(2)∵a=1   ∴由(1)知:f(x)=在[1,+∞)上為增函數(shù),

∴n≥2時:f()=

  

 (3)  ∵   ∴

 

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解析:依題意得f(x)的圖象關于直線x=1對稱,f(x+1)=-f(x-1),f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù).由f(x)在[3,5]上是增函數(shù)與f(x)的圖象關于直線x=1對稱得,f(x)在[-3,-1]上是減函數(shù).又函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù),因此f(x)在[1,3]上是減函數(shù),f(x)在[1,3]上的最大值是f(1),最小值是f(3).

答案:A

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

(Ⅰ)證明PC⊥AD;

(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;

(Ⅲ)設E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.

 

【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).

(1)證明:易得于是,所以

(2) ,設平面PCD的法向量,

,即.不防設,可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

(3)設點E的坐標為(0,0,h),其中,由此得.

,故 

所以,,解得,即.

解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.

(2)如圖,作于點H,連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,

因此所以二面角的正弦值為.

(3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設交點為F,連接BE,EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,

中,由,,

可得.由余弦定理,,

所以.

 

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 D

[解析] 依題意得0<a<1,于是由f(1-)>1得loga(1-)>logaa,0<1-<a,由此解得1<x<,因此不等式f(1-)>1的解集是(1,),選D.

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