已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂．
（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4，求橢圓C的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若M，N是C上關(guān)于（0，0）對稱的兩點(diǎn)，P是C上任意一點(diǎn)，直線PM，PN的斜率都存在，記為k_PM，k_PN，求證：k_PM與k_PN之積為定值．

已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，離心率e=

3

3

，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，點(diǎn)M是橢圓上異于A₁、A₂的任意一點(diǎn)，設(shè)直線MA₁、MA₂的斜率分別為kMA1、kMA2，證明kMA1•kMA2為定值；
（Ⅲ）設(shè)橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，A₁、A₂為長軸兩個(gè)端點(diǎn)，M為橢圓上異于A₁、A₂的點(diǎn)，kMA1、kMA2分別為直線MA₁、MA₂的斜率，利用上面（Ⅱ）的結(jié)論得kMA1•kMA2=（只需直接填入結(jié)果即可，不必寫出推理過程）．

已知圓C方程為x²+y²-8mx-（6m+2）y+6m+1=0（m∈R，m≠0），橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上．
（1）證明圓C恒過一定點(diǎn)M，并求此定點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）判斷直線4x+3y-3=0與圓C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)m=2時(shí)，圓C與橢圓的左準(zhǔn)線相切，且橢圓過（1）中的點(diǎn)M，求此時(shí)橢圓方程；在x軸上是否存在兩定點(diǎn)A，B，使得對橢圓上任意一點(diǎn)Q（異于長軸端點(diǎn)），直線QA，QB的斜率之積為定值？若存在，求出A，B坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

已知離心率為

1

2

的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與過點(diǎn)A（2，0）、B（0，1）的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在一點(diǎn)M（m，0），使過M且與橢圓交于R、S兩點(diǎn)的任意直線l，均滿足∠RFP=∠SFP？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，左頂點(diǎn)為A，若|F₁F₂|=2，橢圓的離心率為e=

1

2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求

PF1

•

PA

的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N（均不是長軸的頂點(diǎn)），AH⊥MN垂足為H且

AH

2=

MH

•

HN

，求證：直線l恒過定點(diǎn)．