如圖，直線與x軸、y軸交于A、B兩點，且OA=OB=1，點P是反比例函數(shù)y=

1

2x

圖象在第一象限的分支上的任意一點，P點坐標(biāo)為（a，b），由點P分別向x軸，y軸作垂線PM、PN，垂足分別為M、N；PM、PN分別與直線交于點E，點F．
（1）設(shè)交點E、F都在線段AB上，分別求出點E、點F的坐標(biāo)；（用含a的代數(shù)式表示）
（2）△AOF與△BOE是否一定相似？如果一定相似，請予以證明；如果不一定相似或一定不相似，請簡短說明理由；
（3）當(dāng)點P在曲線上移動時，△OEF隨之變動，指出在△OEF的三個內(nèi)角中，大小始終保持不變的那個角和它的大小，并證明你的結(jié)論；
（4）在雙曲線y=

1

2x

上是否存在點P，使點P到直線AB的距離最短的點，若存在，請求出點P的坐標(biāo)及最短距離；若不存在，說明理由

（2010•江北區(qū)模擬）如圖，直線與x軸、y軸交于A、B兩點，且OA=OB=1，點P是反比例函數(shù)圖象在第一象限的分支上的任意一點，P點坐標(biāo)為（a，b），由點P分別向x軸，y軸作垂線PM、PN，垂足分別為M、N；PM、PN分別與直線交于點E，點F．
（1）設(shè)交點E、F都在線段AB上，分別求出點E、點F的坐標(biāo)；（用含a的代數(shù)式表示）
（2）△AOF與△BOE是否一定相似？如果一定相似，請予以證明；如果不一定相似或一定不相似，請簡短說明理由；
（3）當(dāng)點P在曲線上移動時，△OEF隨之變動，指出在△OEF的三個內(nèi)角中，大小始終保持不變的那個角和它的大小，并證明你的結(jié)論；
（4）在雙曲線上是否存在點P，使點P到直線AB的距離最短的點，若存在，請求出點P的坐標(biāo)及最短距離；若不存在，說明理由