[例1] 和= 平行的單位向量是 , 錯(cuò)解:因?yàn)榈哪５扔?.所以與平行的單位向量就是.即 (.-) 錯(cuò)因:在求解平行向量時(shí)沒有考慮到方向相反的情況. 正解:因?yàn)榈哪５扔?.所以與平行的單位向量是.即 點(diǎn)評(píng):平行的情況有方向相同和方向相反兩種.讀者可以自己再求解“和= 垂直的單位向量 .結(jié)果也應(yīng)該是兩個(gè). [例2]已知A.若A.B.C是平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn).求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo). 錯(cuò)解:設(shè)D的坐標(biāo)為(x.y).則有x-2=-1-3.y-1=4-2 .即x=-2.y=3.故所求D的坐標(biāo)為. 錯(cuò)因:思維定勢(shì).習(xí)慣上.我們認(rèn)為平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)是按照ABCD的順序.其實(shí).在這個(gè)題目中.根本就沒有指出四邊形ABCD.因此.還需要分類討論. 正解:設(shè)D的坐標(biāo)為(x.y) 當(dāng)四邊形為平行四邊形ABCD時(shí).有x-2=-1-3.y-1= 4-2 .即x= -2.y= 3.解得D的坐標(biāo)為, 當(dāng)四邊形為平行四邊形ADBC時(shí).有x-2=3-(-1).y-1= 2-4 .即x= 6.y= -1.解得D的坐標(biāo)為, 當(dāng)四邊形為平行四邊形ABDC時(shí).有x-3=-1-2.y-2= 4-1 .即x= 0.y= 5.解得D的坐標(biāo)為(0.5). 故第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為. [例3]已知P1(3,2).P2(8.3).若點(diǎn)P在直線P1P2上.且滿足|P1P|=2|PP2|.求點(diǎn)P的坐標(biāo). 錯(cuò)解:由|P1P|=2|PP2|得.點(diǎn)P 分P1P2所成的比為2.代入定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得P() 錯(cuò)因:對(duì)于|P1P|=2|PP2|這個(gè)等式.它所包含的不僅是點(diǎn)P為 P1.P2 的內(nèi)分點(diǎn)這一種情況.還有點(diǎn)P是 P1.P2的外分點(diǎn).故須分情況討論. 正解:當(dāng)點(diǎn)P為 P1.P2 的內(nèi)分點(diǎn)時(shí).P 分P1P2所成的比為2.此時(shí)解得P(), 當(dāng)點(diǎn)P為 P1.P2 的外分點(diǎn)時(shí).P 分P1P2所成的比為-2.此時(shí)解得P. 則所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為()或. 點(diǎn)評(píng):在運(yùn)用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式時(shí).要審清題意.注意內(nèi)外分點(diǎn)的情況.也就是分類討論的數(shù)學(xué)思想. [例4] 設(shè)向量 ...則“ 是“ 的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 分析:根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和充要條件的意義進(jìn)行演算即可． 解:若.∵.則.代入坐標(biāo)得:.即且 ．消去.得, 反之.若.則且.即 則.∴ 故“ 是“ 的充要條件． 答案:C 點(diǎn)評(píng):本題意在鞏固向量平行的坐標(biāo)表示． [例5]．已知=.=.=(3.5).求實(shí)數(shù)x.y.使=x +y ． 分析:根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和待定系數(shù)法.用方程思想求解即可． 解:由題意有 x +y =x=． 又 =(3.5) ∴x-y=3且-x+3y=5 解之得 x=7 且y=4 點(diǎn)評(píng):在向量的坐標(biāo)運(yùn)算中經(jīng)常要用到解方程的方法． [例6]已知A.= .= -.求點(diǎn)C.D和向量的坐標(biāo)． 分析:待定系數(shù)法設(shè)定點(diǎn)C.D的坐標(biāo).再根據(jù)向量 . 和 關(guān)系進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算.用方程思想解之． 解:設(shè)C.D的坐標(biāo)為..由題意得 =().=(3.6). =().= 又= .= - ∴()=(3.6). ()=- 即 ()=(1,2) . ()=(1,2) ∴且.且 ∴ 且 .且 ∴點(diǎn)C.D和向量 的坐標(biāo)分別為 小結(jié):本題涉及到方程思想.對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力要求較高． §8.2平面向量與代數(shù).幾何的綜合應(yīng)用 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

例1某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析，決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案，準(zhǔn)備每周（按120個(gè)工時(shí)算）生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共360臺(tái)，且冰箱至少生產(chǎn)60臺(tái)，已知生產(chǎn)家電產(chǎn)品每臺(tái)所需工時(shí)和每臺(tái)產(chǎn)值如下表：
家電名稱 空調(diào)機(jī) 彩電 冰箱
工時(shí)
1
2
1
3
1
4
產(chǎn)值/千元 4 3 2
問：每周應(yīng)用生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各多少臺(tái)，才使產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值多少？（以千元為單位）

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（2009•浦東新區(qū)二模）一位同學(xué)對(duì)三元一次方程組
a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3
（其中實(shí)系數(shù)ai，bi，ci（i=1，2，3）不全為零）的解的情況進(jìn)行研究后得到下列結(jié)論：
結(jié)論1：當(dāng)D=0，且Dx=Dy=Dz=0時(shí)，方程組有無窮多解；
結(jié)論2：當(dāng)D=0，且Dx，Dy，Dz都不為零時(shí)，方程組有無窮多解；
結(jié)論3：當(dāng)D=0，且Dx=Dy=Dz=0時(shí)，方程組無解．
但是上述結(jié)論均不正確．下面給出的方程組可以作為結(jié)論1、2和3的反例依次為（　�。�
（1）
x+2y+3z=0
x+2y+3z=1
x+2y+3z=2
；  （2）
x+2y=0
x+2y+z=0
2x+4y=0
；  （3）
2x+y=1
-x+2y+z=0
x+3y+z=2
．

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一位同學(xué)對(duì)三元一次方程組（其中實(shí)系數(shù)ai，bi，ci（i=1，2，3）不全為零）的解的情況進(jìn)行研究后得到下列結(jié)論：
結(jié)論1：當(dāng)D=0，且Dx=Dy=Dz=0時(shí)，方程組有無窮多解；
結(jié)論2：當(dāng)D=0，且Dx，Dy，Dz都不為零時(shí)，方程組有無窮多解；
結(jié)論3：當(dāng)D=0，且Dx=Dy=Dz=0時(shí)，方程組無解．
但是上述結(jié)論均不正確．下面給出的方程組可以作為結(jié)論1、2和3的反例依次為（ ）
（1）；  （2）；  （3）．
A．（1）（2）（3）
B．（1）（3）（2）
C．（2）（1）（3）
D．（3）（2）（1）

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例2：如圖：△ABC是邊長(zhǎng)為3厘米的正三角形，D是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，甲、乙兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)分別從點(diǎn)A、D同時(shí)出發(fā)，都以1厘米/秒的速度按圖示方向沿三角形的邊作勻速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間t（0≤t≤3）秒后，兩質(zhì)點(diǎn)的距離為S（t）．
（1）寫出函數(shù)S（t）
（2）求S（t）的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值時(shí)相應(yīng)的t的值．

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如圖，已知半徑為r的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相互垂直且交點(diǎn)為P．
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（1）若四邊形ABCD中的一條對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為d（0＜d＜2r），試求：四邊形ABCD面積的最大值；
（2）試探究：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCD的面積取得最大值，最大值為多少？
（3）對(duì)于之前小題的研究結(jié)論，我們可以將其類比到橢圓的情形．如圖2，設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相互垂直且交于點(diǎn)P．試提出一個(gè)由類比獲得的猜想，并嘗試給予證明或反例否定．

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